Determine os valores de
para que a função
admita:
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais e iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais e iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função quadrática dada por
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem essa função ter:
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre as raízes de uma equação quadrática e usar o discriminante (
) para determinar a natureza das raízes.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula geral de uma equação quadrática:
. No nosso caso, comparando, temos:
O discriminante (
) é dado por
. Ele vai nos ajudar a saber o tipo de raízes que a equação terá.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante para nossa função:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, desenvolvendo
:
Agora, calculando
:
Substituindo de volta no discriminante:
Então, o discriminante é:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada caso:
a) Duas raízes reais e distintas
Para ter duas raízes reais e distintas, o discriminante precisa ser positivo:
Resolvendo a inequação:
b) Duas raízes reais iguais
Para ter duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero:
Resolvendo a equação:
c) Duas raízes complexas e conjugadas
Para ter raízes complexas conjugadas, o discriminante precisa ser negativo:
Resolvendo a inequação:
Resposta
a)
;
b)
;
c)
.