Determine os valores de r para que a função f(x) = r*x^2 + (2*r - 1)*x + (r - 2) admita:
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais e iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função quadrática dada por . Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem essa função ter:
a) Duas raízes reais e distintas;
b) Duas raízes reais iguais;
c) Duas raízes complexas e conjugadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre as raízes de uma equação quadrática e usar o discriminante ( ) para determinar a natureza das raízes.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula geral de uma equação quadrática: . No nosso caso, comparando, temos:
O discriminante ( ) é dado por . Ele vai nos ajudar a saber o tipo de raízes que a equação terá.

Passo 3

Vamos calcular o discriminante para nossa função:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, desenvolvendo :
Agora, calculando :
Substituindo de volta no discriminante:
Então, o discriminante é:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada caso:
a) Duas raízes reais e distintas
Para ter duas raízes reais e distintas, o discriminante precisa ser positivo:
Resolvendo a inequação:
b) Duas raízes reais iguais
Para ter duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero:
Resolvendo a equação:
c) Duas raízes complexas e conjugadas
Para ter raízes complexas conjugadas, o discriminante precisa ser negativo:
Resolvendo a inequação:

Resposta

a) ;
b) ;
c) .

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