Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa:
\left\{\begin{aligned} 2 x-y-3 z & =5 \\\\ 3 x-2 y+2 z & =5 \\\\ 5 x-3 y-z & =16\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x - y - 3z = 5,\\\\ 3x - 2y + 2z = 5,\\\\ 5x - 3y - z = 16 \end{cases}
usando o método da matriz inversa. Para isso vamos precisar montar a matriz dos coeficientes A, calcular \det(A), verificar se \det(A)\neq0 para existir A^{-1} e então prosseguir.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial temos
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3\\\\ 3 & -2 & 2\\\\ 5 & -3 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}5\\\ 5\\\ 16\end{pmatrix},
e o sistema é A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão:
\det(A) =2\begin{vmatrix}-2&2\\\ -3&-1\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}3&2\\\ 5&-1\end{vmatrix} +(-3)\begin{vmatrix}3&-2\\\ 5&-3\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}-2&2\\\ -3&-1\end{vmatrix} =(-2)(-1)-2(-3)=2+6=8,
\begin{vmatrix}3&2\\\ 5&-1\end{vmatrix} =3(-1)-2\cdot5=-3-10=-13,
\begin{vmatrix}3&-2\\\ 5&-3\end{vmatrix} =3(-3)-(-2)\cdot5=-9+10=1.
Logo
\det(A)=2\cdot8 -(-1)\cdot(-13) +(-3)\cdot1 =16 -13 -3=0.

Passo 4

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não possui inversa. Logo o método da matriz inversa não se aplica para encontrar solução única. Para decidir se o sistema é compatível ou não, podemos tentar eliminar variáveis diretamente. Da primeira equação temos
y = 2x - 3z - 5.
Substituindo em 2ª e 3ª equações obtemos, respectivamente,
x - 8z = 5, \quad x - 8z = -1,
que são contraditórias.

Resposta

O sistema é incompatível e não tem solução.

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