(Dependência Linear no Projeto de Estruturas) Vetores representam forças em estruturas. Uma engenheira civil está projetando uma estrutura composta por três vigas cujas forças internas podem ser descritas pelos vetores , e :
Determine se as forças nas vigas são linearmente independentes. Caso não sejam, encontre a relação de dependência linear entre os vetores. Discuta como a independência linear das forças influencia a estabilidade e segurança da estrutura.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores (forças) em R^3: f1,f2,f3. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes, isto é, se a única solução de
a,f1 + b,f2 + c,f3 = 0
é a=b=c=0. Caso contrário, encontraremos a relação de dependência.
Passo 2
Apresentamos os vetores em forma matricial:
f1 = 102015, f2 = 51510, f3 = 153525
Para testar dependência, observamos se algum vetor é combinação linear dos outros. Calculamos
f1 + f2 = 10+520+1515+10 = 153525 = f3
Passo 3
Como
f1 + f2 - f3 = 0
e os coeficientes (1,1,-1) não são todos nulos, concluímos que os vetores são linearmente dependentes. A relação de dependência é
f3 = f1 + f2
Passo 4
Na análise estrutural, forças linearmente independentes garantem um sistema estaticamente determinado, sem mecanismos internos, pois cada membro carrega componentes de força em direções distintas e únicas. Quando há dependência linear, existe redundância ou indeterminação estática: parte das forças pode ser retirada sem quebrar o equilíbrio, o que indica possibilidade de mecanismo (movimentação sem aumento de carga) e complicações na distribuição das tensões. Em termos de segurança, essa dependência pode aumentar a complexidade da análise e exigir métodos de cálculo mais avançados (por ex. estruturas hiperestáticas), além de poder concentrar esforços em determinados elementos em caso de falha de um membro.
Resposta
Os vetores f1,f2,f3 são linearmente dependentes e satisfazem