Determine os valores de k para que os sistemas abaixo tenham:
\left\{\begin{array}{c}x+k z=0 \\\ y=0 \\\ k x+z=0\end{array}\right.
Determine a solução do sistema quando esta existir.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em (x,y,z):
\begin{cases} x + k\,z = 0,\\\ y = 0,\\\ k\,x + z = 0, \end{cases}
que é um sistema linear de ordem 3. Para resolver, vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e estudar dois casos: determinante diferente de zero (solução única) e determinante zero (infinitas soluções).

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k\\\\ 0 & 1 & 0\\\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de A vale
\det(A) = 1\cdot\bigl(1\cdot1 - 0\cdot0\bigr) -0\cdot(\dots) + k\cdot\bigl(0\cdot0 - k\cdot1\bigr) = 1 - k^2.

Passo 3

Se \det(A)\neq0, isto é, se
1 - k^2 \neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad k\neq \pm1,
o sistema homogêneo só admite a solução trivial. Logo, para k\neq\pm1,
(x,y,z) = (0,0,0)
é a única solução.

Passo 4

Se \det(A)=0, isto é, k=\pm1, o sistema tem posto menor que 3 e, por ser homogêneo, possui infinitas soluções não-triviais. Nas duas equações acopladas em x e z,
x + k\,z = 0 \quad\text{e}\quad k\,x + z = 0,
essas duas equações coincidem quando k^2=1. Podemos, por exemplo, usar
k\,x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\,k\,x,
e tomar x = t livre. Como y=0 sempre, obtemos o conjunto de soluções
(x,y,z) = \bigl(t,\,0,\,-k\,t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para k\neq\pm1, há solução única trivial (0,0,0).
Para k=\pm1, há infinitas soluções dadas por
(x,y,z) = \bigl(t,\,0,\,-k\,t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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