Determine os valores de k para que os sistemas abaixo tenham: \left\{\begin{array}{c}x+k z=0 \\\ y=0 \\\ k x+z=0\end{array}\right.
Determine a solução do sistema quando esta existir.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema homogêneo em (x,y,z):
\begin{cases} x + k\,z = 0,\\\ y = 0,\\\ k\,x + z = 0, \end{cases}
que é um sistema linear de ordem 3. Para resolver, vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e estudar dois casos: determinante diferente de zero (solução única) e determinante zero (infinitas soluções).
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k\\\\ 0 & 1 & 0\\\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}.
o sistema homogêneo só admite a solução trivial. Logo, para k\neq\pm1,
(x,y,z) = (0,0,0)
é a única solução.
Passo 4
Se \det(A)=0, isto é, k=\pm1, o sistema tem posto menor que 3 e, por ser homogêneo, possui infinitas soluções não-triviais. Nas duas equações acopladas em x e z,
x + k\,z = 0 \quad\text{e}\quad k\,x + z = 0,
essas duas equações coincidem quando k^2=1. Podemos, por exemplo, usar
k\,x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\,k\,x,
e tomar x = t livre. Como y=0 sempre, obtemos o conjunto de soluções