Determine os valores de k para que os sistemas abaixo tenham:
\left\{\begin{array}{c}x+y+k z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=k \\\\ 2 x+3 y-z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear paramétrico
\begin{cases} x + y + k\,z = 2,\\\\ 3x + 4y + 2z = k,\\\\ 2x + 3y - z = 1, \end{cases}
e pede os valores de k para que o sistema seja determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e análise de consistência via eliminação de Gauss.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&-1\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 3&-1\end{pmatrix}=4\cdot(-1)-2\cdot3=-10,
\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&-1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-2\cdot2=-3-4=-7,
\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}=3\cdot3-4\cdot2=9-8=1.
Logo,
\det(A) = -10 -(-7) + k\cdot1 = k - 3.

Passo 3

Se \det(A)\neq0, isto é, k-3\neq0 ou k\neq3, a matriz é invertível e o sistema tem solução única (teorema de Cramer).

Passo 4

Se k=3, então \det(A)=0 e examinamos a consistência. Substituindo em k:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 &\vline& 2\\\\ 3 & 4 & 2 &\vline& 3\\\\ 2 & 3 & -1&\vline& 1 \end{pmatrix}.
Eliminando x em R2 e R3 com R1:
\text{R2}\to\text{R2}-3\,\text{R1} \;\Rightarrow\; (0,\;1,\;-7\mid -3),
\text{R3}\to\text{R3}-2\,\text{R1} \;\Rightarrow\; (0,\;1,\;-7\mid -3).
Daí R3–R2 gera (0,0,0\mid0), logo o sistema é compatível com posto 2= posto ampliado 2 < 3, havendo infinitas soluções.
Não surge caso inconsistente, pois não há valor de k que torne o posto ampliado maior que o posto da matriz dos coeficientes.

Resposta

Quando k\neq3, o sistema possui solução única.
Quando k=3, o sistema possui infinitas soluções.
Não há valor de k para o qual o sistema seja impossível.

Exercícios relacionados