Determine os valores de r para os quais y(t) é solução:
, na equação
Passo 1
O enunciado dá a função candidata
onde
é uma constante (a ser determinada), e a equação diferencial que ela deve satisfazer:
O que se pede: encontrar todos os valores de
tais que a função dada seja solução da equação diferencial (isto é, a identidade deve valer para todo
no domínio).
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro lembro a regra que vou usar: se
então
. A derivada de
pelo teorema da cadeia e a regra da potência é
onde
. Aplicando isso:
Simplificando os sinais e fatores:
Passo 3
Agora calculo
. Como
, elevando ao quadrado:
Passo 4
Substituo
e
na equação diferencial
Temos
Coloco em evidência o denominador comum e o fator
(ou
, conforme prefira):
Passo 5
A expressão acima deve ser uma identidade em
(valer para todo
do domínio). O fator
não é identicamente zero como função de
(ele só é zero em
, mas precisamos que a igualdade valha para todos os
). Portanto a outra fatoração deve ser zero:
Isso é uma equação algébrica em
. Fatore
:
As soluções são
Passo 6
Interpretação rápida:
- Para
a função candidata é , que é a solução trivial da equação (confere: e , logo a equação é satisfeita). - Para
obtemos a solução não-trivial . Pode-se verificar diretamente substituindo nas expressões de e que a equação é satisfeita.