Determine os valores de r para os quais y(t) é solução:
y(t)=r /\left(t^{2}+1\right), na equação y^{\prime}-2 t y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a função candidata
y(t)=\frac{r}{\left(t^{2}+1\right)}
onde r é uma constante (a ser determinada), e a equação diferencial que ela deve satisfazer:
y' - 2t\,y^{2} = 0.
O que se pede: encontrar todos os valores de r tais que a função dada seja solução da equação diferencial (isto é, a identidade deve valer para todo t no domínio).

Passo 2

Vamos calcular y'(t). Primeiro lembro a regra que vou usar: se u(t)=(t^{2}+1) então y(t)=r\,u(t)^{-1}. A derivada de u^{-1} pelo teorema da cadeia e a regra da potência é
\frac{d}{dt}\bigl(u^{-1}\bigr) = -1\cdot u^{-2}\cdot u',
onde u'=\dfrac{d}{dt}(t^{2}+1)=2t. Aplicando isso:
y'(t)=r\cdot\frac{d}{dt}\bigl((t^{2}+1)^{-1}\bigr) = r\cdot\bigl(-1\bigr)(t^{2}+1)^{-2}\cdot(2t).
Simplificando os sinais e fatores:
y'(t)=-\frac{2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Agora calculo y^{2}(t). Como y(t)=\dfrac{r}{t^{2}+1}, elevando ao quadrado:
y^{2}(t)=\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Substituo y' e y^{2} na equação diferencial
y' - 2t\,y^{2}=0.
Temos
-\frac{2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}} \;-\; 2t\cdot\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} \;=\; 0.
Coloco em evidência o denominador comum e o fator -2t (ou 2t, conforme prefira):
\frac{-2t}{(t^{2}+1)^{2}}\bigl(r + r^{2}\bigr)=0.

Passo 5

A expressão acima deve ser uma identidade em t (valer para todo t do domínio). O fator \dfrac{-2t}{(t^{2}+1)^{2}} não é identicamente zero como função de t (ele só é zero em t=0, mas precisamos que a igualdade valha para todos os t). Portanto a outra fatoração deve ser zero:
r + r^{2}=0.
Isso é uma equação algébrica em r. Fatore r:
r(1+r)=0.
As soluções são
r=0 \quad\text{ou}\quad r=-1.

Passo 6

Interpretação rápida:
  • Para r=0 a função candidata é y(t)=0, que é a solução trivial da equação (confere: y'=0 e 2t y^{2}=0, logo a equação é satisfeita).
  • Para r=-1 obtemos a solução não-trivial y(t)=-\dfrac{1}{t^{2}+1}. Pode-se verificar diretamente substituindo r=-1 nas expressões de y' e y^{2} que a equação é satisfeita.

Resposta

r=0
r=-1

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