Classifique as equações quanto ao tipo, ordem e linearidade:
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
e
são parâmetros (presume-se constantes reais). O que é pedido: classificar essa equação quanto a
- tipo (por exemplo: ordinária vs parcial; com coeficientes constantes ou não; alguma forma especial?),
- ordem,
- linearidade.
Vou listar as informações explícitas:
- A equação envolve derivadas de
em relação a uma única variável independente (denotada implicitamente por ). - Coeficientes das derivadas são
, e (funções de ou constantes). - O termo do lado direito é
(equação homogênea).
Passo 2
Ordens — o que é e como identificar:
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece nela.
- Na equação dada aparecem
(segunda derivada) e (primeira derivada). A maior ordem é .
Portanto a equação é de ordem.
Passo 3
Linearidade — como decidir se uma EDO é linear:
- Uma equação diferencial ordinária é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (coeficientes multiplicando , , , sem produtos entre e suas derivadas, sem funções não-lineares de como , , etc.). - Na equação dada os termos são
, , : cada derivada aparece multiplicada por uma função de (ou constante), e não existem termos não-lineares em .
Logo a equação é linear.
Passo 4
Tipo (ordinária vs parcial; homogênea vs não-homogênea; coeficientes):
- É uma equação envolvendo derivadas em relação a uma única variável
. Logo é uma equação diferencial ordinária (EDO), não uma equação diferencial parcial. - O lado direito é
, portanto é homogênea (solução trivial e espaço de soluções é um espaço vetorial). - Os coeficientes são funções de
: , , . Como dependem de , em termos gerais é uma EDO linear de coeficientes não constantes. - Há, porém, uma forma especial: os coeficientes são potências de
com expoentes que diminuem com a ordem da derivada ( com , com , com ). Isso caracteriza a equação do tipo Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional).
Passo 5
Explicando a equação de Euler–Cauchy e por que esta é desse tipo:
- Uma equação de Euler–Cauchy de ordem
tem a forma
com constantes
. A nossa equação segue esse padrão para
com
e
.
- Essas equações têm comportamento especial: substituindo
(tentativa de solução da forma potência) reduz a EDO a uma equação algébrica para — isso distingue o tipo Euler–Cauchy de uma EDO genérica de coeficientes variáveis.
Passo 6
Mostrando rapidamente o método de solução (aula rápida) para entender a natureza:
- Tentar
(com ou , tomando ramo apropriado) e calcular:
Substituindo na equação obtém-se
- Simplificando todos os fatores
(assumindo ) resulta a equação característica
- Reescrevendo:
As raízes
dessa quadrática determinam a forma geral das soluções:
- Se
reais: . - Se
(raiz dupla): . - Se raízes complexas
: . - Isso ilustra por que a equação é especial (Euler–Cauchy) e como se comporta perto de
(note que é ponto singular).
Passo 7
Observações úteis para a prova (dicas rápidas, motivação e domínio):
- Domínio prático: normalmente trabalha-se em intervalos onde
(por exemplo ou ), porque é ponto singular (coeficiente de zera). - Em provas, identificar a forma
rapidamente permite dizer: “é Euler–Cauchy de 2ª ordem, linear, homogênea”, e então apresentar a equação característica para resolver. - Se for só classificar (sem resolver), basta dizer: ordem
, linear, ordinária, homogênea, do tipo Euler–Cauchy (coeficientes proporcionais a potências de ).
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária, homogênea, linear de coeficientes não constantes; é do tipo Euler–Cauchy (equidimensional).
Ordem: .
Linearidade: linear.
Ordem:
Linearidade: linear.