Classifique as equações quanto ao tipo, ordem e linearidade:
x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y'' + b x y' + c y = 0,
onde b e c são parâmetros (presume-se constantes reais). O que é pedido: classificar essa equação quanto a
  • tipo (por exemplo: ordinária vs parcial; com coeficientes constantes ou não; alguma forma especial?),
  • ordem,
  • linearidade.
Vou listar as informações explícitas:
  • A equação envolve derivadas de y em relação a uma única variável independente (denotada implicitamente por x).
  • Coeficientes das derivadas são x^{2}, b x e c (funções de x ou constantes).
  • O termo do lado direito é 0 (equação homogênea).

Passo 2

Ordens — o que é e como identificar:
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece nela.
  • Na equação dada aparecem y'' (segunda derivada) e y' (primeira derivada). A maior ordem é 2.
    Portanto a equação é de ordem 2.

Passo 3

Linearidade — como decidir se uma EDO é linear:
  • Uma equação diferencial ordinária é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (coeficientes multiplicando y, y', y'', sem produtos entre y e suas derivadas, sem funções não-lineares de y como \sin y, y^2, etc.).
  • Na equação dada os termos são x^{2}y'', b x y', c y: cada derivada aparece multiplicada por uma função de x (ou constante), e não existem termos não-lineares em y.
    Logo a equação é linear.

Passo 4

Tipo (ordinária vs parcial; homogênea vs não-homogênea; coeficientes):
  • É uma equação envolvendo derivadas em relação a uma única variável x. Logo é uma equação diferencial ordinária (EDO), não uma equação diferencial parcial.
  • O lado direito é 0, portanto é homogênea (solução trivial y\equiv0 e espaço de soluções é um espaço vetorial).
  • Os coeficientes são funções de x: a_2(x)=x^{2}, a_1(x)=b x, a_0(x)=c. Como a_j dependem de x, em termos gerais é uma EDO linear de coeficientes não constantes.
  • Há, porém, uma forma especial: os coeficientes são potências de x com expoentes que diminuem com a ordem da derivada ( x^{2} com y'', x^{1} com y', x^{0} com y). Isso caracteriza a equação do tipo Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional).

Passo 5

Explicando a equação de Euler–Cauchy e por que esta é desse tipo:
  • Uma equação de Euler–Cauchy de ordem n tem a forma
x^{n}y^{(n)} + a_{1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y' + a_{n} y = 0,
com constantes a_{i}. A nossa equação segue esse padrão para n=2 com a_{1}=b e a_{2}=c.
  • Essas equações têm comportamento especial: substituindo y=x^{m} (tentativa de solução da forma potência) reduz a EDO a uma equação algébrica para m — isso distingue o tipo Euler–Cauchy de uma EDO genérica de coeficientes variáveis.

Passo 6

Mostrando rapidamente o método de solução (aula rápida) para entender a natureza:
  • Tentar y=x^{m} (com x>0 ou x<0, tomando ramo apropriado) e calcular:
y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação obtém-se
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} + b x \cdot m x^{m-1} + c x^{m} = 0.
  • Simplificando todos os fatores x^{m} (assumindo x\neq0) resulta a equação característica
m(m-1) + b m + c = 0.
  • Reescrevendo:
m^{2} + (b-1)m + c = 0.
As raízes m_{1},m_{2} dessa quadrática determinam a forma geral das soluções:
  • Se m_{1}\neq m_{2} reais: \;y = C_{1} x^{m_{1}} + C_{2} x^{m_{2}}.
  • Se m_{1}=m_{2}=m (raiz dupla): \;y = (C_{1} + C_{2}\ln x)\, x^{m}.
  • Se raízes complexas m=\alpha\pm i\beta: \;y = x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x) + C_{2}\sin(\beta\ln x)\big).
  • Isso ilustra por que a equação é especial (Euler–Cauchy) e como se comporta perto de x=0 (note que x=0 é ponto singular).

Passo 7

Observações úteis para a prova (dicas rápidas, motivação e domínio):
  • Domínio prático: normalmente trabalha-se em intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0), porque x=0 é ponto singular (coeficiente de y'' zera).
  • Em provas, identificar a forma x^{2}y''+b x y'+c y=0 rapidamente permite dizer: “é Euler–Cauchy de 2ª ordem, linear, homogênea”, e então apresentar a equação característica para resolver.
  • Se for só classificar (sem resolver), basta dizer: ordem 2, linear, ordinária, homogênea, do tipo Euler–Cauchy (coeficientes proporcionais a potências de x).

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária, homogênea, linear de coeficientes não constantes; é do tipo Euler–Cauchy (equidimensional).
Ordem: 2.
Linearidade: linear.

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