Determine a solução getal das EDP’s abaixo, em que u=u(x, y).
u_{x}+2 x y u=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação parcial
u_{x}+2 x y\,u=0,
onde u=u(x,y).
Informações dadas:
  • A função incógnita é u(x,y).
  • A derivada presente é apenas \,u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,.
  • A equação é linear e envolve os parâmetros x e y (mas a derivada aparece só em relação a x).
    A tarefa é determinar todas as funções u(x,y) que satisfazem essa igualdade para todo x e y.

Passo 2

Observação-chave para resolver: como só aparece a derivada parcial em relação a x, para cada valor fixo de y a equação se comporta como uma equação diferencial ordinária em x, com y atuando como parâmetro. Portanto, para resolver tratamos a equação como uma ODE em x:
\frac{\partial u}{\partial x} = -2 x y\,u.
Aqui a incógnita é a função u vista como função de x (com y fixo).

Passo 3

Resolver a ODE por separação de variáveis (ou integrando como ODE linear de 1ª ordem). Separe as variáveis u e x:
\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = -2 x y.
Integrando em x (para cada y fixo) obtemos
\int \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}\,dx = \int -2 x y\,dx.
O lado esquerdo integra para \ln|u| (constante de integração depende de y), e o direito para -y x^{2}. Assim
\ln|u(x,y)| = -y x^{2} + C(y),
onde C(y) é uma função arbitrária de y (explico na próxima linha por que a constante depende de y). Ao elevar a exponencial,
u(x,y) = e^{-y x^{2} + C(y)} = e^{C(y)}\,e^{-y x^{2}}.
Como e^{C(y)} é uma função arbitrária de y, chamo-a de \Phi(y). Portanto a solução geral é
u(x,y)=\Phi(y)\,e^{-y x^{2}},
onde \Phi é qualquer função arbitrária de y. Observação importante: a “constante” de integração ao integrar em x pode depender de y porque mantemos y fixo enquanto integramos; soluções gerais de PDEs obtidas por integrar em uma variável costumam trazer funções arbitrárias das outras variáveis.

Passo 4

Verificação direta (sempre bom fazer na prova): calcule \,u_x a partir de u(x,y)=\Phi(y)e^{-y x^{2}}:
u_x = \Phi(y)\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-y x^{2}}\bigr)=\Phi(y)\,e^{-y x^{2}}(-2x y) = -2x y\,u.
Substituindo na equação original aparece exatamente -2xy\,u + 2xy\,u = 0. Logo a solução encontrada satisfaz a EDP.

Passo 5

Comentário didático e dica prática para prova: quando uma EDP tem derivada apenas em relação a uma variável (aqui x), trate-a como ODE nessa variável com as outras como parâmetros; você integrará obtendo constantes que podem ser funções das demais variáveis. Outra via é usar fator integrante: escrever a equação linear \,u_x + p(x,y)u=0 com p(x,y)=2xy e multiplicar por e^{\int p\,dx}=e^{x^2 y} para obter (e^{x^2 y}u)_x=0, o que leva à mesma forma u=\Phi(y)e^{-x^2 y}.

Resposta

u(x,y)=\Phi(y)\,e^{-y x^{2}}

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