Determine a solução getal das EDP’s abaixo, em que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação parcial
onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função incógnita é
. - A derivada presente é apenas
. - A equação é linear e envolve os parâmetros
e (mas a derivada aparece só em relação a ).
A tarefa é determinar todas as funçõesque satisfazem essa igualdade para todo e .
Passo 2
Observação-chave para resolver: como só aparece a derivada parcial em relação a
, para cada valor fixo de
a equação se comporta como uma equação diferencial ordinária em
, com
atuando como parâmetro. Portanto, para resolver tratamos a equação como uma ODE em
:
Aqui a incógnita é a função
vista como função de
(com
fixo).
Passo 3
Resolver a ODE por separação de variáveis (ou integrando como ODE linear de 1ª ordem). Separe as variáveis
e
:
Integrando em
(para cada
fixo) obtemos
O lado esquerdo integra para
(constante de integração depende de
), e o direito para
. Assim
onde
é uma função arbitrária de
(explico na próxima linha por que a constante depende de
). Ao elevar a exponencial,
Como
é uma função arbitrária de
, chamo-a de
. Portanto a solução geral é
onde
é qualquer função arbitrária de
. Observação importante: a “constante” de integração ao integrar em
pode depender de
porque mantemos
fixo enquanto integramos; soluções gerais de PDEs obtidas por integrar em uma variável costumam trazer funções arbitrárias das outras variáveis.
Passo 4
Verificação direta (sempre bom fazer na prova): calcule
a partir de
:
Substituindo na equação original aparece exatamente
. Logo a solução encontrada satisfaz a EDP.
Passo 5
Comentário didático e dica prática para prova: quando uma EDP tem derivada apenas em relação a uma variável (aqui
), trate-a como ODE nessa variável com as outras como parâmetros; você integrará obtendo constantes que podem ser funções das demais variáveis. Outra via é usar fator integrante: escrever a equação linear
com
e multiplicar por
para obter
, o que leva à mesma forma
.