Encontre a solução geral dos sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são as seguintes:
\left[\begin{array}{cccc}1 & 4 & 0 & 7 \\\\ 2 & 7 & 0 & 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 & 7 \\\\ 2 & 7 & 0 & 10 \end{array}\right]
e pede a solução geral do sistema linear correspondente. Vou primeiro traduzir a matriz em equações. Denotando as incógnitas por x_1,x_2,x_3\), as duas linhas representam: \[\begin{cases} 1\cdot x_1 + 4\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 7,\\[4pt] 2\cdot x_1 + 7\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 10. \end{cases}
Portanto, tenho duas equações lineares em três incógnitas e preciso encontrar todas as tuplas ((x_1,x_2,x_3)] que satisfazem ambas.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares de linha). Rápida explicação prática: as operações elementares que podemos usar são (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações mantêm o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter uma forma escalonada que permita resolver as incógnitas facilmente.
Vou eliminar o x_1 da segunda equação usando a primeira. Aplicar a operação
\text{Linha}_2 \leftarrow \text{Linha}_2 - 2\cdot\text{Linha}_1.

Passo 3

Aplicando a operação, a matriz fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 & 7 \\\\ 2-2\cdot1 & 7-2\cdot4 & 0-2\cdot0 & 10-2\cdot7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 & 7 \\\\ 0 & -1 & 0 & -4 \end{array}\right].
Volto às equações correspondentes a essas linhas:
\begin{cases} x_1 + 4x_2 + 0\cdot x_3 = 7,\\[4pt] 0\cdot x_1 -1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = -4. \end{cases}
A segunda equação simplifica para -x_2 = -4.]

Passo 4

Resolver a segunda equação para x_2:
-x_2 = -4 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 4.
Agora substituo x_2=4 na primeira equação para obter x_1:
x_1 + 4\cdot x_2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_1 + 4\cdot 4 = 7.
Calculo 4\cdot 4 = 16, então
x_1 + 16 = 7 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 7-16 = -9.

Passo 5

Observação sobre x_3: a terceira coluna da matriz (coeficientes de x_3) é toda zero, o que significa que nenhuma equação impõe restrição sobre x_3. Portanto x_3 é uma variável livre. Introduzo um parâmetro para ela: seja t\in\mathbb{R} tal que x_3=t.
Assim a solução geral fica expressa por
(x_1,x_2,x_3)=(-9,\,4,\,t),\qquad t\in\mathbb{R},
ou, em forma vetorial,
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\[4pt]4\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

(x_1,x_2,x_3)=(-9,4,t),\\ t\in\mathbb{R}

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