Explicando a ideia principal (didático, passo a passo e sem pular etapas):
A regra de Cramer diz que, para um sistema A x = b com \det(A)\neq 0, cada incógnita x_i é dada por
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
Portanto precisamos calcular \det(A) e os determinantes \det(A_1),\det(A_2),\det(A_3),\det(A_4).
Para calcular determinantes 4\times4 aqui vou usar expansão por cofatores (expansão em desenvolvimento por uma coluna). Isso evita operações com frações e é direto: escolho a primeira coluna para \det(A) (pode-se escolher qualquer coluna; escolhi a primeira porque os cálculos ficam organizados). Lembre que ao expandir por uma coluna, o sinal do cofator do elemento a_{i1} é (-1)^{i+1}.
Agora vamos computar tudo passo a passo.
Passo 3
Cálculo de \det(A) por desenvolvimento pela primeira coluna. Escrevo a soma de cofatores:
Se eu desenvolver \det(A_1) pela primeira coluna, os menores 3\times3 que aparecem são exatamente os mesmos M_{11},M_{21},M_{31},M_{41} que já calculei (porque ao remover a primeira coluna, uso as colunas 2,3,4, que não foram alteradas). Assim:
Vou desenvolver \det(A_2) pela segunda coluna. A regra de sinais para a coluna 2 dá coeficientes (-1)^{i+2}, ou seja: para i=1 sinal -, para i=2 sinal +, para i=3 sinal -, para i=4 sinal +. Assim