Resolva o sistema usando a regra de Cramer:
\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & =8 \\\ x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =7 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+x_{4} & =6 \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =9 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}:
\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & =8,\\[4pt] x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}-x_{4} & =7,\\[4pt] -x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+x_{4} & =6,\\[4pt] 3 x_{1}-x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =9. \end{aligned}
O que se pede: determinar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} resolvendo o sistema usando a regra de Cramer.
As informações relevantes que temos (peguei diretamente do enunciado):
  • O vetor dos termos constantes (lado direito) é \displaystyle b=\begin{pmatrix}8\\[2pt]7\\[2pt]6\\[2pt]9\end{pmatrix}.
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3\\[2pt] 1 & 3 & 2 & -1\\[2pt] -1 & 2 & 4 & 1\\[2pt] 3 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicando a ideia principal (didático, passo a passo e sem pular etapas):
  • A regra de Cramer diz que, para um sistema A x = b com \det(A)\neq 0, cada incógnita x_i é dada por
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
  • Portanto precisamos calcular \det(A) e os determinantes \det(A_1),\det(A_2),\det(A_3),\det(A_4).
  • Para calcular determinantes 4\times4 aqui vou usar expansão por cofatores (expansão em desenvolvimento por uma coluna). Isso evita operações com frações e é direto: escolho a primeira coluna para \det(A) (pode-se escolher qualquer coluna; escolhi a primeira porque os cálculos ficam organizados). Lembre que ao expandir por uma coluna, o sinal do cofator do elemento a_{i1} é (-1)^{i+1}.
Agora vamos computar tudo passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \det(A) por desenvolvimento pela primeira coluna. Escrevo a soma de cofatores:
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{\,i+1}a_{i1}\det(M_{i1}) =2\det(M_{11})-1\det(M_{21})+(-1)\det(M_{31})-3\det(M_{41}),
onde M_{i1} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha i e a coluna 1 de A.
Agora calculo cada menor 3\times3:
  • Para \det(M_{11}) (eliminar linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\begin{pmatrix}3 & 2 & -1\\[2pt]2 & 4 & 1\\[2pt]-1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Calculo o determinante por regra de Sarrus / fórmula:
\det(M_{11}) =3(4\cdot2-1\cdot1)-2(2\cdot2-1\cdot(-1))+(-1)(2\cdot1-4\cdot(-1)).
Desenvolvendo:
\det(M_{11})=3(8-1)-2(4+1)+(-1)(2+4)=3\cdot7-2\cdot5-6=21-10-6=5.
  • Para \det(M_{21}) (eliminar linha 2 e coluna 1):
M_{21}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\\[2pt]2 & 4 & 1\\[2pt]-1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\det(M_{21})=1(4\cdot2-1\cdot1)-(-1)(2\cdot2-1\cdot(-1))+3(2\cdot1-4\cdot(-1)).
\det(M_{21})=1(8-1)+1(4+1)+3(2+4)=7+5+18=30.
  • Para \det(M_{31}) (eliminar linha 3 e coluna 1):
M_{31}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\\[2pt]3 & 2 & -1\\[2pt]-1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\det(M_{31})=1(2\cdot2-(-1)\cdot1)-(-1)(3\cdot2-(-1)\cdot(-1))+3(3\cdot1-2\cdot(-1)).
\det(M_{31})=1(4+1)+1(6-1)+3(3+2)=5+5+15=25.
  • Para \det(M_{41}) (eliminar linha 4 e coluna 1):
M_{41}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\\[2pt]3 & 2 & -1\\[2pt]2 & 4 & 1\end{pmatrix}.
\det(M_{41})=1(2\cdot1-(-1)\cdot4)-(-1)(3\cdot1-(-1)\cdot2)+3(3\cdot4-2\cdot2).
\det(M_{41})=1(2+4)+1(3+2)+3(12-4)=6+5+24=35.
Agora retorno para \det(A):
\det(A)=2\cdot5-1\cdot30+(-1)\cdot25-3\cdot35=10-30-25-105=-150.
Observação importante: \det(A)=-150\neq 0, então o sistema tem solução única e a regra de Cramer é aplicável.]

Passo 4

Cálculo de \det(A_1) e x_{1}.
  • A matriz A_1 é A com a primeira coluna substituída por b:
A_1=\begin{pmatrix} 8 & 1 & -1 & 3\\[2pt] 7 & 3 & 2 & -1\\[2pt] 6 & 2 & 4 & 1\\[2pt] 9 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Se eu desenvolver \det(A_1) pela primeira coluna, os menores 3\times3 que aparecem são exatamente os mesmos M_{11},M_{21},M_{31},M_{41} que já calculei (porque ao remover a primeira coluna, uso as colunas 2,3,4, que não foram alteradas). Assim:
\det(A_1)=8\det(M_{11})-7\det(M_{21})+6\det(M_{31})-9\det(M_{41}).
Substituindo os valores:
\det(A_1)=8\cdot5-7\cdot30+6\cdot25-9\cdot35=40-210+150-315=-335.
Logo, pela regra de Cramer,
x_{1}=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{-335}{-150}=\frac{335}{150}=\frac{67}{30}.]

Passo 5

Cálculo de \det(A_2) e x_{2}.
  • A matriz A_2 é A com a segunda coluna substituída por b:
A_2=\begin{pmatrix} 2 & 8 & -1 & 3\\[2pt] 1 & 7 & 2 & -1\\[2pt] -1 & 6 & 4 & 1\\[2pt] 3 & 9 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Vou desenvolver \det(A_2) pela segunda coluna. A regra de sinais para a coluna 2 dá coeficientes (-1)^{i+2}, ou seja: para i=1 sinal -, para i=2 sinal +, para i=3 sinal -, para i=4 sinal +. Assim
\det(A_2)=-8\det(M_{12})+7\det(M_{22})-6\det(M_{32})+9\det(M_{42}),
onde cada M_{i2} é o menor 3\times3 obtido removendo linha i e coluna 2 de A_2. Agora calculo esses menores:
  • \displaystyle M_{12}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[2pt]-1 & 4 & 1\\[2pt]3 & 1 & 2\end{pmatrix} e
\det(M_{12})=1(4\cdot2-1\cdot1)-2(-1\cdot2-1\cdot3)+(-1)(-1\cdot1-4\cdot3)=30.
  • \displaystyle M_{22}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\[2pt]-1 & 4 & 1\\[2pt]3 & 1 & 2\end{pmatrix} e
\det(M_{22})= -30.
(veja desenvolvimento detalhado no cálculo: resultado -30).
  • \displaystyle M_{32}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\[2pt]1 & 2 & -1\\[2pt]3 & 1 & 2\end{pmatrix} e
\det(M_{32})=0.
  • \displaystyle M_{42}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\[2pt]1 & 2 & -1\\[2pt]-1 & 4 & 1\end{pmatrix} e
\det(M_{42})=30.
Substituindo em \det(A_2):
\det(A_2)=-8\cdot30+7\cdot(-30)-6\cdot0+9\cdot30=-240-210+0+270=-180.
Logo
x_{2}=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{-180}{-150}=\frac{180}{150}=\frac{6}{5}.]

Passo 6

Cálculo de \det(A_3) e x_{3}.
  • A matriz A_3 é A com a terceira coluna substituída por b:
A_3=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 8 & 3\\[2pt] 1 & 3 & 7 & -1\\[2pt] -1 & 2 & 6 & 1\\[2pt] 3 & -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}.
Vou desenvolver \det(A_3) pela terceira coluna; os sinais para a coluna 3 são +,-,+,- (porque (-1)^{i+3}). Assim:
\det(A_3)=8\det(M_{13})-7\det(M_{23})+6\det(M_{33})-9\det(M_{43}).
Calculando os menores:
  • \displaystyle M_{13}=\begin{pmatrix}3 & 2 & -1\\[2pt]-1 & 2 & 1\\[2pt]3 & -1 & 2\end{pmatrix} e \det(M_{13})=25.
  • \displaystyle M_{23}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[2pt]-1 & 2 & 1\\[2pt]3 & -1 & 2\end{pmatrix} e \det(M_{23})=0.
  • \displaystyle M_{33}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[2pt]1 & 3 & -1\\[2pt]3 & -1 & 2\end{pmatrix} e \det(M_{33})=-25.
  • \displaystyle M_{43}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[2pt]1 & 3 & -1\\[2pt]-1 & 2 & 1\end{pmatrix} e \det(M_{43})=25.
Substituindo:
\det(A_3)=8\cdot25-7\cdot0+6\cdot(-25)-9\cdot25=200-0-150-225=-175.
Portanto
x_{3}=\frac{\det(A_3)}{\det(A)}=\frac{-175}{-150}=\frac{175}{150}=\frac{7}{6}.]

Passo 7

Cálculo de \det(A_4) e x_{4}.
  • A matriz A_4 é A com a quarta coluna substituída por b:
A_4=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 8\\[2pt] 1 & 3 & 2 & 7\\[2pt] -1 & 2 & 4 & 6\\[2pt] 3 & -1 & 1 & 9 \end{pmatrix}.
Desenvolvo \det(A_4) pela quarta coluna. Os sinais para a coluna 4 são -,+,-,+ (porque (-1)^{i+4}). Então:
\det(A_4)=-8\det(M_{14})+7\det(M_{24})-6\det(M_{34})+9\det(M_{44}).
Calculo os menores:
  • \displaystyle M_{14}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\[2pt]-1 & 2 & 4\\[2pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix} e \det(M_{14})=35.
  • \displaystyle M_{24}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[2pt]-1 & 2 & 4\\[2pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix} e \det(M_{24})=30.
  • \displaystyle M_{34}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[2pt]1 & 3 & 2\\[2pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix} e \det(M_{34})=25.
  • \displaystyle M_{44}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[2pt]1 & 3 & 2\\[2pt]-1 & 2 & 4\end{pmatrix} e \det(M_{44})=5.
Substituindo:
\det(A_4)=-8\cdot35+7\cdot30-6\cdot25+9\cdot5=-280+210-150+45=-175.
Então
x_{4}=\frac{\det(A_4)}{\det(A)}=\frac{-175}{-150}=\frac{175}{150}=\frac{7}{6}.]

Resposta

x_{1}=\dfrac{67}{30}
x_{2}=\dfrac{6}{5}
x_{3}=\dfrac{7}{6}
x_{4}=\dfrac{7}{6}

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