Determine os valores de \underline{\mathbf{m}} para que exista \underline{\mathbf{x}} :
\cos x=m^{2}-8

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m tais que exista algum x real satisfazendo a equação
\cos x = m^{2}-8.
Informações relevantes dadas / assumidas:
  • A incógnita m é um número real (assumido).
  • A incógnita x é um número real.
  • A equação relaciona o valor de \cos x com a expressão m^{2}-8.

Passo 2

Sempre que há uma equação do tipo \cos x = \text{(algo)}, a primeira coisa a checar é se esse “algo” está dentro do intervalo de valores que a função \cos pode assumir. Lembrete importante sobre a função cosseno:
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale -1 \le \cos x \le 1.
  • Além disso, a função \cos atinge todos os valores do intervalo [-1,1] (é contínua e atinge extremos).
Portanto, uma condição necessária e suficiente para existir x tal que \cos x = m^{2}-8 é que
m^{2}-8 \in [-1,1].

Passo 3

Vamos traduzir a condição em desigualdade e resolver passo a passo. Escrevendo explicitamente:
-1 \le m^{2}-8 \le 1.
Somando 8 em todas as partes da desigualdade obtemos:
-1+8 \le m^{2} \le 1+8,
ou seja,
7 \le m^{2} \le 9.

Passo 4

Agora resolvemos as desigualdades envolvendo m^{2}.
Primeiro, m^{2} \le 9 implica
-3 \le m \le 3,
pois \sqrt{9}=3 e m^{2}\le 9 é equivalente a |m|\le 3.
Segundo, m^{2} \ge 7 implica
|m| \ge \sqrt{7},
ou seja
m \le -\sqrt{7}\quad\text{ou}\quad m \ge \sqrt{7}.
(Explicação rápida: se m^{2}\ge a com a>0, então |m|\ge\sqrt{a}.)

Passo 5

Fazendo a interseção das duas condições ( |m|\le 3 e |m|\ge\sqrt{7}) obtemos que m deve satisfazer simultaneamente:
\sqrt{7}\le |m|\le 3.
Em termos de intervalos para m, isso é
m\in [-3,-\sqrt{7}]\\ \cup\\ [\sqrt{7},3].

Passo 6

Verificação rápida dos extremos (para ganhar confiança):
  • Se m=3 então m^{2}-8=9-8=1, e existe x (por exemplo x=0) tal que \cos x=1.
  • Se m=-3 idem: m^{2}-8=1.
  • Se m=\sqrt{7} então m^{2}-8=7-8=-1, e existe x (por exemplo x=\pi) tal que \cos x=-1.
  • Se m estiver dentro de qualquer um dos intervalos acima, o valor m^{2}-8 fica entre -1 e 1, então existe x com \cos x=m^{2}-8.

Resposta

m\in [-3,-\sqrt{7}]\\ \cup\\ [\sqrt{7},3]

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