Indique em que quadrante do círculo trigonométrico é representado cada número real dado:
-0,6 \pi

Passo 1

O enunciado pede para indicar em que quadrante do círculo trigonométrico é representado o número real -0,6\pi.
As informações dadas são:
  • O ângulo é -0,6\pi (em radianos).

Passo 2

Entender o que significa um ângulo negativo: um ângulo negativo representa uma rotação no sentido horário a partir do eixo positivo x. Para identificar o quadrante, é conveniente transformar o ângulo para um equivalente no intervalo principal [0,2\pi) somando 2\pi (ou subtraindo, conforme necessário), porque os quadrantes são definidos nesse intervalo.

Passo 3

Converter -0,6\pi para uma fração de \pi e depois para um ângulo no intervalo [0,2\pi):
-0,6\pi = -\frac{3\pi}{5}
Somando 2\pi:
- \frac{3\pi}{5} + 2\pi = -\frac{3\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{7\pi}{5}.
Portanto, um representante no intervalo [0,2\pi) é \dfrac{7\pi}{5}.

Passo 4

Determinar em qual quadrante fica \dfrac{7\pi}{5}. Lembrando os limites dos quadrantes (em termos de \pi):
  • Quadrante I: 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}.
  • Quadrante II: \dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi.
  • Quadrante III: \pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}.
  • Quadrante IV: \dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi.
Compare \dfrac{7\pi}{5} com \pi e \dfrac{3\pi}{2}:
\pi = \frac{5\pi}{5} < \frac{7\pi}{5} \quad\text{e}\quad \frac{7\pi}{5} < \frac{3\pi}{2} = \frac{7,5\pi}{5}.
Como \pi < \dfrac{7\pi}{5} < \dfrac{3\pi}{2}, o ângulo está no Quadrante III.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida e motivadora: começar em 0 e girar 0,6\pi para baixo (sentido horário) leva ao mesmo ponto que girar 1,4\pi no sentido anti-horário; esse ponto fica depois de \pi e antes de 3\pi/2 — ou seja, na região onde tanto seno quanto cosseno são negativos (Quadrante III).

Resposta

Quadrante III

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