Indique em que quadrante do círculo trigonométrico é representado cada número real dado:
1,25 \pi

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: o número real 1{,}25\pi.\n
  • Pedido: indicar em qual quadrante do círculo trigonométrico esse ângulo está representado.\n
    Observação: não há imagem; trabalharemos com a convenção padrão do círculo trigonométrico (ângulos medidos a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar o número decimal em uma fração para reconhecer um ângulo notável.\n
Escrevendo 1{,}25 como fração temos \,1{,}25=\dfrac{5}{4}\,. Portanto
1{,}25\pi=\frac{5}{4}\pi=\frac{5\pi}{4}.

Passo 3

Lembrando os limites dos quadrantes em radianos (padrão do círculo trigonométrico):\n
  • Quadrante I: 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}.\n
  • Quadrante II: \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi.\n
  • Quadrante III: \pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2}.\n
  • Quadrante IV: \dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi.\n
    Pontos exatamente em \,0,\dfrac{\pi}{2},\pi,\dfrac{3\pi}{2},2\pi ficam sobre os eixos (não em um quadrante).

Passo 4

Comparar \dfrac{5\pi}{4} com os limites relevantes: escrevendo em quarto de \pi fica mais claro:
\pi=\frac{4\pi}{4},\qquad \frac{5\pi}{4},\qquad \frac{3\pi}{2}=\frac{6\pi}{4}.
Então verificamos
\frac{4\pi}{4}<\frac{5\pi}{4}<\frac{6\pi}{4},
ou seja
\pi<\frac{5\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}.
Pelo item do Passo 3, isso coloca o ângulo no Quadrante III.

Passo 5

Dica extra útil para prova (como reconhecer rapidamente):\n
  • Converter para graus: \dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{5\cdot180^\circ}{4}=225^\circ, e 225^\circ é imediatamente identificável como Quadrante III.\n
  • Ângulo de referência: \dfrac{5\pi}{4}-\pi=\dfrac{\pi}{4} (ou seja, referência de 45^\circ). Portanto o ponto no círculo terá coordenadas \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) e seno e cosseno ambos negativos — característica do Quadrante III.

Passo 6

Resumo rápido e encorajador: transformar decimais em frações e comparar com \pi/2,\pi,3\pi/2 é a maneira mais segura e rápida na prova. Você já encontrou o lugar do ângulo — mandou bem em pedir a resolução passo a passo!

Resposta

Quadrante III

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