Determine para quais valores de x a função f(x)=|x-2| é derivável.

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de x a função f(x)=|x-2| é derivável.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=|x-2| para todo x\in\mathbb{R}.
  • Nenhuma outra informação adicional foi dada.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função em forma sem valor absoluto (essa transformação é padrão e muito útil). Lembre que, para qualquer número t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aplicando com t=x-2\] obtemos a forma peça a peça de \[f:
f(x)=|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{se } x\ge 2,\\[4pt] 2-x, & \text{se } x<2. \end{cases}
Observação: nas duas peças, em x=2\] o valor coincide (\(0), então a função está bem definida e contínua em x=2.]

Passo 3

Agora um lembrete didático sobre derivada e diferentiabilidade (sem pular etapas): a derivada de f num ponto a é o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
se esse limite existir (finito). Se existir, dizemos que f é derivável em a. Uma coisa importante: se f for derivável em a, então f é necessariamente contínua em a. Porém, a recíproca não vale sempre: função contínua pode não ser derivável (é o caso de cantos/quinas).
Outra ideia útil: funções lineares do tipo g(x)=ax+b têm derivada constante g'(x)=a para todo x. Vamos usar isso nas peças.

Passo 4

Derivabilidade para x>2. Se x>2, pela forma peça a peça temos f(x)=x-2 em uma vizinhança de um ponto a>2. Como x-2 é uma função linear, sua derivada é a constante 1. Formalmente, para a>2:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h-2)-(a-2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
Portanto f é derivável em todo a>2 e f'(x)=1 para x>2.

Passo 5

Derivabilidade para x<2. Se x<2, temos f(x)=2-x numa vizinhança de a<2. Essa também é função linear; a derivada é -1. Formalmente, para a<2:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(2-(a+h))-(2-a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h}=-1.
Portanto f é derivável em todo a<2 e f'(x)=-1 para x<2.

Passo 6

Verificação no ponto x=2 (o ponto crítico). Aqui não podemos aplicar diretamente a regra da peça porque a expressão muda ao atravessar 2. Devemos calcular as derivadas laterais (um procedimento obrigatório quando a função é definida por partes):
Derivada direita em 2 (limite com h\to0^+):
\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h>0 temos 2+h>2, então f(2+h)= (2+h)-2 = h. E f(2)=0. Logo
\lim_{h\to0^+}\frac{h-0}{h}=\lim_{h\to0^+}1=1.
A derivada pela direita é 1.
Derivada esquerda em 2 (limite com h\to0^-):
\lim_{h\to0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h<0 temos 2+h<2, então f(2+h)=2-(2+h)=-h. Assim
\lim_{h\to0^-}\frac{-h-0}{h}=\lim_{h\to0^-}-1=-1.
A derivada pela esquerda é -1.
Como as derivadas lateral esquerda e lateral direita em x=2 são diferentes ( -1\neq 1), o limite que define f'(2) não existe. Portanto f não é derivável em x=2. Isto é o que chamamos de “quina” ou “canto” — função contínua, mas com mudança brusca de inclinação.

Passo 7

Resumo e interpretação final (para você lembrar na prova): a função é piecewise linear com inclinações diferentes em cada lado de 2. Para pontos fora da quina, a derivada é simplesmente a inclinação da reta local; no ponto da quina é preciso verificar as derivadas laterais e, se não coincidirem, não há derivada.

Resposta

A função f(x)=|x-2| é derivável para todo x\neq 2 e não é derivável em x=2.
Além disso,
f'(x)=\begin{cases} -1, & x<2,\\[4pt] \text{não existe}, & x=2,\\[4pt] 1, & x>2. \end{cases}ã

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