Determine para quais valores de
a função
é derivável.
Passo 1
O enunciado pede: determinar para quais valores de
a função
é derivável.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
para todo . - Nenhuma outra informação adicional foi dada.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função em forma sem valor absoluto (essa transformação é padrão e muito útil). Lembre que, para qualquer número
Aplicando com
:
Observação: nas duas peças, em
), então a função está bem definida e contínua em
.]
Passo 3
Agora um lembrete didático sobre derivada e diferentiabilidade (sem pular etapas): a derivada de
num ponto
é o limite
se esse limite existir (finito). Se existir, dizemos que
é derivável em
. Uma coisa importante: se
for derivável em
, então
é necessariamente contínua em
. Porém, a recíproca não vale sempre: função contínua pode não ser derivável (é o caso de cantos/quinas).
Outra ideia útil: funções lineares do tipo
têm derivada constante
para todo
. Vamos usar isso nas peças.
Passo 4
Derivabilidade para
. Se
, pela forma peça a peça temos
em uma vizinhança de um ponto
. Como
é uma função linear, sua derivada é a constante
. Formalmente, para
:
Portanto
é derivável em todo
e
para
.
Passo 5
Derivabilidade para
. Se
, temos
numa vizinhança de
. Essa também é função linear; a derivada é
. Formalmente, para
:
Portanto
é derivável em todo
e
para
.
Passo 6
Verificação no ponto
(o ponto crítico). Aqui não podemos aplicar diretamente a regra da peça porque a expressão muda ao atravessar
. Devemos calcular as derivadas laterais (um procedimento obrigatório quando a função é definida por partes):
Derivada direita em
(limite com
):
Para
temos
, então
. E
. Logo
A derivada pela direita é
.
Derivada esquerda em
(limite com
):
Para
temos
, então
. Assim
A derivada pela esquerda é
.
Como as derivadas lateral esquerda e lateral direita em
são diferentes (
), o limite que define
não existe. Portanto
não é derivável em
. Isto é o que chamamos de “quina” ou “canto” — função contínua, mas com mudança brusca de inclinação.
Passo 7
Resumo e interpretação final (para você lembrar na prova): a função é piecewise linear com inclinações diferentes em cada lado de
. Para pontos fora da quina, a derivada é simplesmente a inclinação da reta local; no ponto da quina é preciso verificar as derivadas laterais e, se não coincidirem, não há derivada.
Resposta
A função
é derivável para todo
e não é derivável em
.
Além disso,
Além disso,