Quantos são os valores distintos de \cos \frac{k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z} ?

Passo 1

O enunciado pede quantos valores distintos assume \cos\bigl(\tfrac{k\pi}{3}\bigr)
quando k percorre todos os inteiros. O conteúdo necessário é a periodicidade do cosseno e a análise dos valores para k módulo o período.

Passo 2

Como \cos(x) é 2\pi-periódica, temos
\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi}{3}\bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{(k \bmod 6)\,\pi}{3}\Bigr).
Logo só precisamos estudar k de 0 a 5.

Passo 3

Calculando para k=0,1,2,3,4,5 temos \cos(0)=1, \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12, \cos(\tfrac{2\pi}{3})=-\tfrac12, \cos(\pi)=-1, \cos(\tfrac{4\pi}{3})=-\tfrac12, \cos(\tfrac{5\pi}{3})=\tfrac12.

Passo 4

Dos valores acima, os distintos são
1,\quad \tfrac12,\quad -\tfrac12,\quad -1.

Passo 5

Contando esses elementos, obtemos 4 valores distintos.

Resposta

4

Exercícios relacionados