Determine os valores de x que satisfaçam \frac{x+3}{2 x-1} \leq \frac{4}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x+3}{2x-1}\le \frac{4}{3}.
O conteúdo aqui é inequação racional: primeiro a gente determina o domínio, depois reduz tudo a uma única fração e, por fim, faz o estudo de sinal dessa fração.

Passo 2

Determinar o domínio de definição. A única restrição vem do denominador 2x-1\neq0, logo
x\neq\tfrac12.

Passo 3

Passar tudo para o lado esquerdo e obter uma única fração:
\frac{x+3}{2x-1}-\frac{4}{3}\le0.
O denominador comum é 3(2x-1). No numerador,
3(x+3)-4(2x-1)=3x+9-8x+4=-5x+13.
Portanto a inequação vira
\frac{-5x+13}{3(2x-1)}\le0.

Passo 4

Identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador mudam de sinal:
-5x+13=0\implies x=\tfrac{13}{5},\quad 2x-1=0\implies x=\tfrac12.

Passo 5

Fazer o quadro de sinais de
\frac{-5x+13}{3(2x-1)}.
Intervalos determinados por x=\tfrac12 e x=\tfrac{13}{5}:
  1. Para x<\tfrac12: numerador -5x+13>0, denominador 3(2x-1)<0 → fração < 0\to satisfaz.
  2. Para \tfrac12<x<\tfrac{13}{5}: numerador >0, denominador > 0\to fração > 0\to não satisfaz.
  3. Para x>\tfrac{13}{5}: numerador <0, denominador > 0\to fração < 0\to satisfaz.
No ponto x=\tfrac{13}{5} a fração vale zero, que também satisfaz “ \le0”. Em x=\tfrac12 não está definida.

Resposta

\boxed{\,(-\infty,\tfrac12)\;\cup\;[\tfrac{13}{5},\infty)\,}.

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