Resolva a inequação de quociente: \frac{2 x}{x-1}<5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de quociente
\frac{2x}{x-1} < 5.
O conteúdo é resolução de inequações envolvendo frações. Vamos primeiro colocar tudo num único quociente, depois identificar zeros de numerador e denominador, montar a tabela de sinais e, por fim, escrever a solução.

Passo 2

Subtraímos 5 de ambos os lados para ter uma única fração comparada a zero:
\frac{2x}{x-1} - 5 < 0.
Colocando em sobre o mesmo denominador (x-1), obtemos
\frac{2x - 5(x-1)}{x-1} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x - 5x + 5}{x-1} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-3x + 5}{x-1} < 0.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos, onde numerador ou denominador são zero:
\text{numerador} = -3x + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5}{3},
\text{denominador} = x - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1.
Além disso, x \neq 1 é condição de existência da fração.

Passo 4

Estudamos o sinal de \frac{-3x+5}{x-1} nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Para x<1:
    -3x+5>0 (pois x<1<5/3) e x-1<0. Logo o quociente é negativo.
  2. Para 1<x<5/3:
    -3x+5>0 e x-1>0. Logo o quociente é positivo.
  3. Para x>5/3:
    -3x+5<0 (pois x>5/3) e x-1>0. Logo o quociente é negativo.

Passo 5

Como queremos
\frac{-3x + 5}{x-1} < 0,
aceitamos os intervalos onde o quociente é negativo. Isso ocorre para
x < 1 \quad\text{ou}\quad x > \frac{5}{3}.
Não incluímos x=1 (fora do domínio) nem x=\tfrac{5}{3} (anula o numerador e tornaria a expressão igual a zero).

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty,\,1)\;\cup\;\bigl(\tfrac{5}{3},\,+\infty\bigr).

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