Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
sumn=1^infty (x-2)^nn^3

Passo 1

O enunciado pede em quais valores de x a série de potências
sumn=1^infty (x-2)^nn^3
converge. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos usar o Teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência e depois checar os pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o Teste da raiz, isto é, calculamos
limntoinftyraiz[n]|(x-2)^nn^3| =limntoinfty|x-2|(n^3)^1/n =;|x-2|cdot1 =|x-2|
Para convergência pelo Teste da raiz, precisamos de
|x-2|<1

Passo 3

Logo, no interior do intervalo temos convergência absoluta sempre que
|x-2|<1 Long<=ftrightarrow 1<x<3

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
  1. Em x=3:
    sumn=1^infty(3-2)^nn^3 =sumn=1^infty1n^3,
    que é uma série p-série com p=3>1. Converge.
  2. Em x=1:
    sumn=1^infty(1-2)^nn^3 =sumn=1^infty(-1)^nn^3,
    que converge absolutamente também (pois sum1/n^3 converge).

Resposta

A série converge para
1 <= x <= 3

Exercícios relacionados