Questão 1
Calcule o limite
Determine a reta tangente à trajetória de F(t)=(cos (3 t), 5 t, sen(3 t)) no ponto F(pi3) :

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva dada por
F(t) = l(cos(3t),,5t,,sin(3t)r)
no ponto correspondente a t0 = tfracpi3.
Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto F(t0) e o vetor diretor da reta, que é dado por F'(t0).

Passo 2

Calculamos o ponto da curva em t0=tfracpi3:
Fl(tfracpi3r) =l(cos(pi),,5cdottfracpi3,,sin(pi)r) =(-1,;tfrac5pi3,;0)

Passo 3

Derivamos F(t) componente a componente:
F'(t) =l(-3sin(3t),,5,,3cos(3t)r)
Em t0=tfracpi3 isto fica
F'l(tfracpi3r) =l(-3sin(pi),,5,,3cos(pi)r) =(0,,5,,-3)

Passo 4

A reta tangente, em forma paramétrica, parte de P=(-1,tfrac5pi3,0) e tem vetor diretor v=(0,5,-3). Assim, para um parâmetro s,
r(s) =P + s,v = l(-1,;tfrac5pi3,;0r) + s,(0,5,-3)

Resposta

A reta tangente é dada por
r(s)=l(-1,;tfrac5pi3,;0r) + s,(0,5,-3)

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