Determine o trabalho mecânico do campo de forças F(x, y, z)=x y imath+y z jmath+z x k ao se mover uma partícula ao longo do arco c do caminho de equações paramétricas
c:lx=t y=t^2 z=t^3, 0 <= t <= 2
Nenhuma das outras alternativas.
9 / 20
37 / 60
107 / 210
$27 / 28

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = integralc vec F!cdot dvec r
do campo vec F(x,y,z)=x,y,vecimath + y,z,vecjmath + z,x,vec k ao longo da curva paramétrica
x=t, y=t^2, z=t^3, 0<= t<=2
Vamos usar a definição de integral de linha para campos de força:
W = integralt=0^2 vec Fl(x(t),y(t),z(t)r),cdot,vec r,'(t),dt

Passo 2

Calculamos primeiro o vetor velocidade
vec r(t) =l(t,;t^2,;t^3r) Longrightarrow vec r,'(t)=l(1,;2t,;3t^2r)
E avaliamos vec F ao longo da curva:
vec Fl(t,t^2,t^3r) =l(tcdot t^2,;t^2cdot t^3,;t^3cdot tr) =l(t^3,;t^5,;t^4r)

Passo 3

Fazemos o produto escalar
vec Fl(t,t^2,t^3r)!cdot!vec r,'(t) = t^3cdot1 ;+; t^5cdot(2t);+;t^4cdot(3t^2) = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5,t^6

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2:
W = integral0^2l(t^3+5t^6r),dt = integral0^2t^3,dt ;+;5integral0^2t^6,dt
Calculando cada parte:
integral0^2t^3,dt = [tfract^44]0^2 = tfrac164=4, integral0^2t^6,dt = [tfract^77]0^2 = tfrac1287
Portanto
W = 4 + 5cdottfrac1287 = 4 + tfrac6407 = tfrac287 + tfrac6407 = tfrac6687approx95,43

Passo 5

Nenhuma das frações tfrac920,tfrac3760,tfrac107210,tfrac2728 equivale a tfrac6687. Logo, a alternativa correta é a opção “Nenhuma das outras alternativas”.

Resposta

Nenhuma das outras alternativas.

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