Para a determinação da vazão volumétrica ( Q ) de um líquido, utiliza-se um sistema experimental, que escoa através de um tubo. É possível dizer que a vazão volumétrica depende da variação da pressão por unidade de comprimento (
), do raio do tubo ® e da viscosidade do fluido (
). Use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros. Quais os valores dos expoentes de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que a vazão volumétrica depende de: a variação de pressão por unidade de comprimento
, do raio do tubo e da viscosidade do fluido . - O que se quer: pela análise dimensional, encontrar a relação funcional entre esses parâmetros e, em particular, os valores dos expoentes de
, , e na lei de proporcionalidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é a vazão volumétrica
. - As variáveis independentes listadas (como combinação) são
, e . - Pediu-se explicitamente os expoentes correspondentes a
, , e .
Passo 2
Definir as dimensões fundamentais de cada grandeza (usar massa
, comprimento
e tempo
) e explicar por que:
- Vazão volumétrica
: é volume por tempo, logo
- Variação de pressão
: pressão é força por área. Força tem dimensão , área tem dimensão , então pressão tem dimensão
- Comprimento
(no enunciado usado para formar ): sua dimensão é
- Raio
: é um comprimento, logo
- Viscosidade dinâmica
: unidade comum é , portanto
(Explicação curta:
relaciona tensão de cisalhamento com gradiente de velocidade, e suas unidades confirmam
.)
Passo 3
Escolher a forma geral de dependência que vamos analisar pela análise dimensional.
Como o enunciado diz que a dependência é de
,
e
, é natural escrever uma lei de proporcionalidade do tipo
onde
é uma constante adimensional desconhecida e
são os expoentes a determinar por análise dimensional.
Esta escolha evita ambiguidade entre
e
porque o enunciado já dá a combinação
.
Passo 4
Escrever as dimensões de cada fator do lado direito e igualar às de
.
Dimensão do lado direito:
-
tem dimensão
(Observação: usei que
e ao dividir por
multiplica-se o expoente de
por
mais uma vez.)
-
tem dimensão
-
tem dimensão
Multiplicando tudo, a dimensão do RHS é
Estas dimensões devem ser iguais às de
, que são
.
Passo 5
Igualar expoentes de
,
e
para obter um sistema linear nas incógnitas
.
Comparando potências de
:
Comparando potências de
:
Comparando potências de
:
Passo 6
Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então
Substituir
e
na equação para
:
Portanto os expoentes são
,
,
na forma escolhida.
Passo 7
Interpretar o resultado na forma pedida (expoentes de
,
,
e
).
A forma usada foi
com
,
,
. Reescrevendo em termos separados de
e
:
Isso coincide com a lei de Hagen–Poiseuille (até uma constante adimensional), que para fluxo laminar em tubo cilíndrico dá
mas a análise dimensional só determina os expoentes, não a constante numérica
.