Para a determinação da vazão volumétrica ( Q ) de um líquido, utiliza-se um sistema experimental, que escoa através de um tubo. É possível dizer que a vazão volumétrica depende da variação da pressão por unidade de comprimento ( \Delta \mathrm{P} / \mathrm{L} ), do raio do tubo ® e da viscosidade do fluido ( \mu ). Use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros. Quais os valores dos expoentes de \Delta \mathrm{P}, \mathrm{L}, \mathrm{r} \mu.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que a vazão volumétrica depende de: a variação de pressão por unidade de comprimento \Delta P / L, do raio do tubo r e da viscosidade do fluido \mu.
  • O que se quer: pela análise dimensional, encontrar a relação funcional entre esses parâmetros e, em particular, os valores dos expoentes de \Delta P, L, r e \mu na lei de proporcionalidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é a vazão volumétrica Q.
  • As variáveis independentes listadas (como combinação) são \Delta P / L, r e \mu.
  • Pediu-se explicitamente os expoentes correspondentes a \Delta P, L, r e \mu.

Passo 2

Definir as dimensões fundamentais de cada grandeza (usar massa M, comprimento L e tempo T) e explicar por que:
  • Vazão volumétrica Q: é volume por tempo, logo
[Q]=L^{3}T^{-1}.
  • Variação de pressão \Delta P: pressão é força por área. Força tem dimensão M L T^{-2}, área tem dimensão L^{2}, então pressão tem dimensão
[\Delta P]=M L^{-1} T^{-2}.
  • Comprimento L (no enunciado usado para formar \Delta P / L): sua dimensão é
[L]=L.
  • Raio r: é um comprimento, logo
[r]=L.
  • Viscosidade dinâmica \mu: unidade comum é \text{Pa}\cdot\text{s}, portanto
[\mu]=M L^{-1} T^{-1}.
(Explicação curta: \mu relaciona tensão de cisalhamento com gradiente de velocidade, e suas unidades confirmam M L^{-1} T^{-1}.)

Passo 3

Escolher a forma geral de dependência que vamos analisar pela análise dimensional.
Como o enunciado diz que a dependência é de \Delta P / L, r e \mu, é natural escrever uma lei de proporcionalidade do tipo
Q = k\left(\frac{\Delta P}{L}\right)^{\alpha} r^{\beta} \mu^{\gamma},
onde k é uma constante adimensional desconhecida e \alpha,\beta,\gamma são os expoentes a determinar por análise dimensional.
Esta escolha evita ambiguidade entre \Delta P e L porque o enunciado já dá a combinação \Delta P/L.

Passo 4

Escrever as dimensões de cada fator do lado direito e igualar às de Q.
Dimensão do lado direito:
  • \left(\dfrac{\Delta P}{L}\right)^{\alpha} tem dimensão
\left[\frac{\Delta P}{L}\right]^{\alpha} = \bigl(M L^{-2} T^{-2}\bigr)^{\alpha} = M^{\alpha} L^{-2\alpha} T^{-2\alpha}.
(Observação: usei que [\Delta P]=M L^{-1} T^{-2} e ao dividir por L multiplica-se o expoente de L por -1 mais uma vez.)
  • r^{\beta} tem dimensão
[r^{\beta}] = L^{\beta}.
  • \mu^{\gamma} tem dimensão
[\mu^{\gamma}] = \bigl(M L^{-1} T^{-1}\bigr)^{\gamma} = M^{\gamma} L^{-\gamma} T^{-\gamma}.
Multiplicando tudo, a dimensão do RHS é
M^{\alpha+\gamma}\; L^{-2\alpha+\beta-\gamma}\; T^{-2\alpha-\gamma}.
Estas dimensões devem ser iguais às de Q, que são M^{0}L^{3}T^{-1}.

Passo 5

Igualar expoentes de M, L e T para obter um sistema linear nas incógnitas \alpha,\beta,\gamma.
Comparando potências de M:
\alpha+\gamma = 0.
Comparando potências de L:
-2\alpha+\beta-\gamma = 3.
Comparando potências de T:
-2\alpha-\gamma = -1.

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
\gamma = -\alpha.
Substituindo na terceira equação:
-2\alpha - (-\alpha) = -1 \quad\Rightarrow\quad -\alpha = -1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 1.
Então
\gamma = -1.
Substituir \alpha=1 e \gamma=-1 na equação para L:
-2(1) + \beta - (-1) = 3 \quad\Rightarrow\quad -2 + \beta +1 = 3 \quad\Rightarrow\quad \beta = 4.
Portanto os expoentes são \alpha=1, \beta=4, \gamma=-1 na forma escolhida.

Passo 7

Interpretar o resultado na forma pedida (expoentes de \Delta P, L, r e \mu).
A forma usada foi Q \propto (\Delta P / L)^{\alpha} r^{\beta} \mu^{\gamma} com \alpha=1, \beta=4, \gamma=-1. Reescrevendo em termos separados de \Delta P e L:
Q \propto \Delta P^{1}\; L^{-1}\; r^{4}\; \mu^{-1}.
Isso coincide com a lei de Hagen–Poiseuille (até uma constante adimensional), que para fluxo laminar em tubo cilíndrico dá
Q=\frac{\pi}{8}\,\frac{\Delta P}{\mu L}\,r^{4},
mas a análise dimensional só determina os expoentes, não a constante numérica \pi/8.

Resposta

\Delta P: 1
L: -1
r: 4
\mu: -1

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