Determine ( \vec{\nabla} \times \overrightarrow{\mathrm{H}}) sendo \overrightarrow{\mathrm{H}} dado por:
\overrightarrow{\mathrm{H}}=\mathrm{y}^{2} \mathrm{z} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{x}}+2(\mathrm{x}+1) \mathrm{yz} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}-(\mathrm{x}+1) \mathrm{z}^{2} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se determinar \vec{\nabla}\times\overrightarrow{\mathrm{H}} (o rotacional de \overrightarrow{\mathrm{H}}).
  • Foi dada a campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{H}} com componentes (peguei estes dados do enunciado): \overrightarrow{\mathrm{H}} = \mathrm{y}^{2}\mathrm{z}\,\mathbf{a}_x + 2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\mathrm{z}\,\mathbf{a}_y - (\mathrm{x}+1)\,\mathrm{z}^{2}\,\mathbf{a}_z.
  • Ou seja, as componentes são: H_x=\mathrm{y}^{2}\mathrm{z},\qquad H_y=2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\mathrm{z},\qquad H_z=-(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{z}^{2}.

Passo 2

Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e o significado dos termos.
  • O rotacional de um campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{H}} em coordenadas cartesianas é dado por: \nabla\times\overrightarrow{\mathrm{H}}=\left(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}\right)\mathbf{a}_x+\left(\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}\right)\mathbf{a}_y+\left(\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}\right)\mathbf{a}_z.
  • Aqui \partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z são derivadas parciais: derivar a componente indicada em relação à variável indicada, tratando as outras como constantes.
  • Vamos calcular cada uma das três componentes separadamente, com calma e mostrando as derivadas.

Passo 3

Cálculo da componente na direção \mathbf{a}_x.
  • Precisamos de \dfrac{\partial H_z}{\partial y} e \dfrac{\partial H_y}{\partial z}.
  • Como H_z=-(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{z}^{2} não depende de \mathrm{y}, tem-se \frac{\partial H_z}{\partial y}=0.
  • Para H_y=2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\mathrm{z} derivando em relação a \mathrm{z} (tratando \mathrm{x},\mathrm{y} como constantes) obtemos, aplicando a regra do produto simples, \frac{\partial H_y}{\partial z}=2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}.
  • Portanto a componente x do rotacional é \frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}=0-2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}=-2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}.

Passo 4

Cálculo da componente na direção \mathbf{a}_y.
  • Precisamos de \dfrac{\partial H_x}{\partial z} e \dfrac{\partial H_z}{\partial x}.
  • Para H_x=\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}, derivando em relação a \mathrm{z} ( \mathrm{y} constante): \frac{\partial H_x}{\partial z}=\mathrm{y}^{2}.
  • Para H_z=-(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{z}^{2}, derivando em relação a \mathrm{x} ( \mathrm{z} constante) a derivada de (\mathrm{x}+1) é 1, logo \frac{\partial H_z}{\partial x}= -1\cdot \mathrm{z}^{2} = -\mathrm{z}^{2}.
  • Assim a componente y do rotacional é \frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}=\mathrm{y}^{2}-(-\mathrm{z}^{2})=\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}.

Passo 5

Cálculo da componente na direção \mathbf{a}_z.
  • Precisamos de \dfrac{\partial H_y}{\partial x} e \dfrac{\partial H_x}{\partial y}.
  • Para H_y=2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\mathrm{z}, derivando em relação a \mathrm{x} ( \mathrm{y},\mathrm{z} constantes) a derivada de (\mathrm{x}+1) é 1, então \frac{\partial H_y}{\partial x}=2\cdot 1\cdot \mathrm{y}\mathrm{z}=2\mathrm{y}\mathrm{z}.
  • Para H_x=\mathrm{y}^{2}\mathrm{z}, derivando em relação a \mathrm{y} ( \mathrm{z} constante): \frac{\partial H_x}{\partial y}=2\mathrm{y}\mathrm{z}.
  • Assim a componente z do rotacional é \frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}=2\mathrm{y}\mathrm{z}-2\mathrm{y}\mathrm{z}=0.

Passo 6

Montagem do rotacional e resultado final.
  • Juntando as três componentes que calculamos: \nabla\times\overrightarrow{\mathrm{H}}=-2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\,\mathbf{a}_x+(\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2})\,\mathbf{a}_y+0\cdot\mathbf{a}_z.
  • Eliminando o termo nulo e deixando em forma compacta: \nabla\times\overrightarrow{\mathrm{H}}=-2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\,\mathbf{a}_x+(\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2})\,\mathbf{a}_y.

Resposta

\nabla\times\overrightarrow{\mathrm{H}}=-2(\mathrm{x}+1)\,\mathrm{y}\,\mathbf{a}_x+(\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2})\,\mathbf{a}_y

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