Determine (
sendo
dado por:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se determinar
(o rotacional de ). - Foi dada a campo vetorial
com componentes (peguei estes dados do enunciado): - Ou seja, as componentes são:
Passo 2
Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e o significado dos termos.
- O rotacional de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado por: - Aqui
são derivadas parciais: derivar a componente indicada em relação à variável indicada, tratando as outras como constantes. - Vamos calcular cada uma das três componentes separadamente, com calma e mostrando as derivadas.
Passo 3
Cálculo da componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Como
não depende de , tem-se - Para
derivando em relação a (tratando como constantes) obtemos, aplicando a regra do produto simples, - Portanto a componente
do rotacional é
Passo 4
Cálculo da componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Para
, derivando em relação a ( constante): - Para
, derivando em relação a ( constante) a derivada de é , logo - Assim a componente
do rotacional é
Passo 5
Cálculo da componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Para
, derivando em relação a ( constantes) a derivada de é , então - Para
, derivando em relação a ( constante): - Assim a componente
do rotacional é
Passo 6
Montagem do rotacional e resultado final.
- Juntando as três componentes que calculamos:
- Eliminando o termo nulo e deixando em forma compacta: