Determine
sabendo que
Passo 1
O enunciado dá as duas informações seguintes:
A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Antes de começar a integrar, é importante esclarecer o que
representa — porque isso muda totalmente a solução. Há duas interpretações comuns:
-
é o vetor tangente não-normalizado, isto é, . (Chamo isto de interpretação A.) -
é o versor tangente unitário, isto é, . (Chamo isto de interpretação B.)
Eu vou analisar as duas interpretações curto e didaticamente, para ver qual é compatível com os dados e qual permite achar
.
Passo 3
Análise da interpretação B (versor unitário). Se
for unitário, então a equação dada integra-se para
onde
é uma constante vetorial.
Mas, por definição de versor unitário, temos que
para todo
. Calculemos o quadrado da norma:
Ao expandir, o termo de maior grau é
. Para que
seja igual a
para todo
essa componente
teria de ser nula — o que é impossível. Logo não existe escolha de
que torne
um vetor de norma
para todos os
. Portanto a interpretação B é incompatível com a equação dada para todos os
.
Conclusão:
não pode ser o versor unitário tangente para todos os
. A interpretação correta, consistente com os dados, é a interpretação A:
.
Passo 4
Agora assumimos (interpret. A) que
. Então a equação dada é simplesmente
Isto é uma equação diferencial vetorial de segunda ordem. Para resolver, integramos componente a componente. Integração de vetores é feita integrando cada componente.
Primeira integração (obtemos a velocidade
):
onde
é um vetor constante de integração que podemos escrever como
. (Esses
são números reais a determinar por condições iniciais.)
Segunda integração (obtemos a posição
):
onde
é outro vetor constante de integração.
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
obtemos
Portanto
, ou em componentes
.
O vetor
(ou seja, os componentes
) permanece desconhecido porque para fixá-lo precisaríamos de uma condição inicial adicional sobre a velocidade, por exemplo
. Sem essa informação a solução é uma família de curvas parametrizadas por
.
Se alguém der
, então basta calcular
(pois avaliando
em
temos
) e obter a solução única.
Exemplo ilustrativo: se supusermos (apenas como exemplo)
, então
e
Passo 6
Resumo didático rápido do procedimento que usaríamos na prova:
- Identifique se
é vetor velocidade ou versor unitário; aqui a consistência com a equação exige . - Integre
(vetor dado) componente a componente para achar (aparecerá um vetor constante ). - Integre novamente para achar
(aparecerá outro vetor constante ). - Use
para determinar . Use (se fornecido) para determinar . Sem a condição sobre a solução final tem parâmetros livres.