Determine \vec{r}=\vec{r}(t) sabendo que
\frac{d \vec{T}}{d t}=t \vec{\imath}+2 \vec{k} \mathrm{e} \vec{r}(0)=\vec{\imath}+\vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá as duas informações seguintes:
\displaystyle \frac{d\vec{T}}{dt}=t\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}.
\displaystyle \vec{r}(0)=\vec{\imath}+\vec{\jmath}.
A pergunta é: determinar \displaystyle \vec{r}=\vec{r}(t).

Passo 2

Antes de começar a integrar, é importante esclarecer o que \displaystyle \vec{T} representa — porque isso muda totalmente a solução. Há duas interpretações comuns:
  1. \displaystyle \vec{T}(t) é o vetor tangente não-normalizado, isto é, \displaystyle \vec{T}(t)=\vec{r}\,'(t). (Chamo isto de interpretação A.)
  2. \displaystyle \vec{T}(t) é o versor tangente unitário, isto é, \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\|\vec{r}\,'(t)\|}. (Chamo isto de interpretação B.)
Eu vou analisar as duas interpretações curto e didaticamente, para ver qual é compatível com os dados e qual permite achar \vec{r}(t).

Passo 3

Análise da interpretação B (versor unitário). Se \displaystyle \vec{T} for unitário, então a equação dada integra-se para
\vec{T}(t)=\int\!\big(t\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\big)\,dt+\vec{T}(0) = \Big(\tfrac{1}{2}t^{2}+a\Big)\vec{\imath}+b\,\vec{\jmath}+(2t+c)\,\vec{k},
onde \displaystyle \vec{T}(0)=a\,\vec{\imath}+b\,\vec{\jmath}+c\,\vec{k} é uma constante vetorial.
Mas, por definição de versor unitário, temos que \displaystyle \|\vec{T}(t)\|=1 para todo t. Calculemos o quadrado da norma:
\|\vec{T}(t)\|^{2}=\Big(\tfrac{1}{2}t^{2}+a\Big)^{2}+b^{2}+(2t+c)^{2}.
Ao expandir, o termo de maior grau é \displaystyle \tfrac{1}{4}t^{4}. Para que \displaystyle \|\vec{T}(t)\|^{2} seja igual a 1 para todo t essa componente \displaystyle \tfrac{1}{4}t^{4} teria de ser nula — o que é impossível. Logo não existe escolha de a,b,c que torne \displaystyle \vec{T}(t) um vetor de norma 1 para todos os t. Portanto a interpretação B é incompatível com a equação dada para todos os t.
Conclusão: \displaystyle \vec{T} não pode ser o versor unitário tangente para todos os t. A interpretação correta, consistente com os dados, é a interpretação A: \displaystyle \vec{T}(t)=\vec{r}\,'(t).

Passo 4

Agora assumimos (interpret. A) que \displaystyle \vec{T}(t)=\vec{r}\,'(t). Então a equação dada é simplesmente
\vec{r}''(t)=t\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}.
Isto é uma equação diferencial vetorial de segunda ordem. Para resolver, integramos componente a componente. Integração de vetores é feita integrando cada componente.
Primeira integração (obtemos a velocidade \vec{r}\,'(t)):
\vec{r}\,'(t)=\int \big(t\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\big)\,dt = \tfrac{1}{2}t^{2}\,\vec{\imath}+2t\,\vec{k}+\vec{C},
onde \displaystyle \vec{C} é um vetor constante de integração que podemos escrever como \displaystyle \vec{C}=C_{1}\,\vec{\imath}+C_{2}\,\vec{\jmath}+C_{3}\,\vec{k}. (Esses C_{i} são números reais a determinar por condições iniciais.)
Segunda integração (obtemos a posição \vec{r}(t)):
\vec{r}(t)=\int \vec{r}\,'(t)\,dt = \int\Big(\tfrac{1}{2}t^{2}\,\vec{\imath}+2t\,\vec{k}+\vec{C}\Big)\,dt = \tfrac{1}{6}t^{3}\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{k}+\vec{C}\,t+\vec{D},
onde \displaystyle \vec{D}=D_{1}\,\vec{\imath}+D_{2}\,\vec{\jmath}+D_{3}\,\vec{k} é outro vetor constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição inicial \displaystyle \vec{r}(0)=\vec{\imath}+\vec{\jmath}. Substituindo t=0 na expressão de \vec{r}(t) obtemos
\vec{r}(0)=\vec{D}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}.
Portanto \displaystyle \vec{D}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}, ou em componentes D_{1}=1,\;D_{2}=1,\;D_{3}=0.
O vetor \displaystyle \vec{C} (ou seja, os componentes C_{1},C_{2},C_{3}) permanece desconhecido porque para fixá-lo precisaríamos de uma condição inicial adicional sobre a velocidade, por exemplo \displaystyle \vec{r}\,'(0). Sem essa informação a solução é uma família de curvas parametrizadas por \displaystyle \vec{C}.
Se alguém der \displaystyle \vec{r}\,'(0), então basta calcular \displaystyle \vec{C}=\vec{r}\,'(0) (pois avaliando \vec{r}\,'(t) em t=0 temos \vec{r}\,'(0)=\vec{C}) e obter a solução única.
Exemplo ilustrativo: se supusermos (apenas como exemplo) \displaystyle \vec{r}\,'(0)=\vec{0}, então \displaystyle \vec{C}=\vec{0} e
\vec{r}(t)=\tfrac{1}{6}t^{3}\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{k}+\vec{\imath}+\vec{\jmath}.

Passo 6

Resumo didático rápido do procedimento que usaríamos na prova:
  • Identifique se \vec{T} é vetor velocidade \vec{r}\,' ou versor unitário; aqui a consistência com a equação exige \vec{T}=\vec{r}\,'.
  • Integre \vec{r}''(t)= (vetor dado) componente a componente para achar \vec{r}\,'(t) (aparecerá um vetor constante \vec{C}).
  • Integre novamente para achar \vec{r}(t) (aparecerá outro vetor constante \vec{D}).
  • Use \vec{r}(0) para determinar \vec{D}. Use \vec{r}\,'(0) (se fornecido) para determinar \vec{C}. Sem a condição sobre \vec{r}\,'(0) a solução final tem parâmetros livres.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=\tfrac{1}{6}t^{3}\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{k}+\vec{C}\,t+\vec{\imath}+\vec{\jmath}, onde \displaystyle \vec{C}=C_{1}\,\vec{\imath}+C_{2}\,\vec{\jmath}+C_{3}\,\vec{k} é um vetor constante não determinado pela condição dada.

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