Calcule:
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida do seguinte campo vetorial unidimensional em t:
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t.
Informações dadas:
\text{Integrando: } t \vec{\imath}+e^{t}\vec{\jmath}, \qquad \text{Intervalo: } t\in[0,1].
Pergunta explícita: calcular o valor da integral definida do vetor função no intervalo [0,1].

Passo 2

Regra importante que vamos usar (sem resolver ainda): a integral de um vetor cuja componente x é f(t) e componente y é g(t) é feita componente a componente. Em fórmula:
\int_{a}^{b}\bigl(f(t)\vec{\imath}+g(t)\vec{\jmath}\bigr)\,dt = \left(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\right)\vec{\imath}+\left(\int_{a}^{b}g(t)\,dt\right)\vec{\jmath}.
Isso vale porque a integral é linear: podemos separar somas e fatores escalares. Em palavras: integramos cada componente escalar como se fosse uma integral normal.

Passo 3

Aplicando a regra componente a componente ao nosso problema, temos:
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t = \left(\int_{0}^{1} t\,dt\right)\vec{\imath}+\left(\int_{0}^{1} e^{t}\,dt\right)\vec{\jmath}.
Agora vamos calcular cada integral escalar separadamente.

Passo 4

Integral da primeira componente: \int t\,dt.
Usamos a regra do poder (power rule) para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, então
\int t\,dt=\int t^{1}\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
Para a integral definida de 0 a 1 iremos avaliar a primitiva entre os limites.

Passo 5

Integral da segunda componente: \int e^{t}\,dt.
Propriedade fundamental da exponencial: a derivada de e^{t} é e^{t}, logo uma primitiva de e^{t} é ela mesma. Assim
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C.
Também avaliaremos essa primitiva entre 0 e 1.

Passo 6

Montando as primitivas para cada componente:
F(t)=\frac{t^{2}}{2}\vec{\imath}+e^{t}\vec{\jmath}
é uma primitiva do integrando vetorial. Pela regra do teorema fundamental do cálculo,
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t = F(1)-F(0).

Passo 7

Avaliação das componentes nos pontos t=1 e t=0.
Para a componente \vec{\imath}:
\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Para a componente \vec{\jmath}:
\left.e^{t}\right|_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1,
pois e^{0}=1.

Passo 8

Juntando os resultados componentes, a integral vale
\frac{1}{2}\vec{\imath}+(e-1)\vec{\jmath}.

Resposta

\dfrac{1}{2}\vec{\imath}+(e-1)\vec{\jmath}

Exercícios relacionados