Calcule: \int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral definida do seguinte campo vetorial unidimensional em t:
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t.
Informações dadas:
\text{Integrando: } t \vec{\imath}+e^{t}\vec{\jmath}, \qquad \text{Intervalo: } t\in[0,1].
Pergunta explícita: calcular o valor da integral definida do vetor função no intervalo [0,1].
Passo 2
Regra importante que vamos usar (sem resolver ainda): a integral de um vetor cuja componente x é f(t) e componente y é g(t) é feita componente a componente. Em fórmula:
Isso vale porque a integral é linear: podemos separar somas e fatores escalares. Em palavras: integramos cada componente escalar como se fosse uma integral normal.
Passo 3
Aplicando a regra componente a componente ao nosso problema, temos:
\int_{0}^{1}\left[t \vec{\imath}+e^{t} \vec{\jmath}\right] d t = \left(\int_{0}^{1} t\,dt\right)\vec{\imath}+\left(\int_{0}^{1} e^{t}\,dt\right)\vec{\jmath}.
Agora vamos calcular cada integral escalar separadamente.
Passo 4
Integral da primeira componente: \int t\,dt.
Usamos a regra do poder (power rule) para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, então
\int t\,dt=\int t^{1}\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
Para a integral definida de 0 a 1 iremos avaliar a primitiva entre os limites.
Passo 5
Integral da segunda componente: \int e^{t}\,dt.
Propriedade fundamental da exponencial: a derivada de e^{t} é e^{t}, logo uma primitiva de e^{t} é ela mesma. Assim