Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\vec{f}(t)=(2+\cos t, 3+4 \operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a trajetória de uma partícula P cuja posição em função do tempo é dada por
\vec{f}(t)=(2+\cos t,\; 3+4\operatorname{sen} t).
Informações fornecidas que vou usar:
\vec{f}(t) dá as coordenadas x(t) e y(t) da partícula para cada t.
As funções trigonométricas \cos t e \operatorname{sen} t estão presentes (assumo t\in\mathbb{R}, movimento periódico).
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano e caracterizá‑la (posição, forma, direção do movimento, pontos importantes).

Passo 2

Vou separar as componentes para ficar claro o que cada uma representa:
x(t)=2+\cos t,\qquad y(t)=3+4\operatorname{sen} t.
Explicação didática: aqui a trajetória está dada de forma paramétrica — para cada t eu tenho um par (x(t),y(t)). Esboçar significa encontrar a curva no plano formada por todos esses pontos ao longo de t e entender como a partícula se move sobre ela.

Passo 3

Para descobrir a forma da curva (sem precisar calcular muitos pontos) eu elimino o parâmetro t. Primeiro isolo as funções trigonométricas:
\cos t = x-2,\qquad \operatorname{sen} t = \frac{y-3}{4}.
Agora uso a identidade trigonométrica básica (uma das mais importantes!): para todo t,
\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t = 1.
Substituindo as expressões em termos de x e y na identidade, obtenho a equação cartesiana da curva:
(x-2)^2 + \left(\frac{y-3}{4}\right)^2 = 1.
Comentário didático: essa é a técnica padrão — expressar \cos t e \operatorname{sen} t em x,y e usar a identidade \cos^2+\sin^2=1 para eliminar t.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação obtida:
(x-2)^2 + \frac{(y-3)^2}{16} = 1.
Isto é a equação de uma elipse com:
  • centro em (2,3) — porque aparecem os termos (x-2) e (y-3);
  • semi-eixo horizontal (semi‑eixo em x) igual a 1, já que (x-2)^2/1^2;
  • semi-eixo vertical (semi‑eixo em y) igual a 4, pois (y-3)^2/4^2.
    Explicando: numa elipse padrão \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1, a e b são os semi-eixos. Aqui a=1 (horizontal) e b=4 (vertical), logo a elipse é mais “alongada” na direção vertical.

Passo 5

Calculo alguns pontos-chave (fáceis de marcar no esboço) usando valores de t:
  • Para t=0: \cos0=1,\;\operatorname{sen}0=0 (x,y)=(2+1,\;3+0)=(3,3)\quad\text{(ponto mais à direita).}à
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0,\;\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1 (x,y)=(2,\;3+4)=(2,7)\quad\text{(ponto mais alto).}
  • Para t=\pi: \cos\pi=-1,\;\operatorname{sen}\pi=0 (x,y)=(2-1,\;3)=(1,3)\quad\text{(ponto mais à esquerda).}à
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: \cos\tfrac{3\pi}{2}=0,\;\operatorname{sen}\tfrac{3\pi}{2}=-1 (x,y)=(2,\;3-4)=(2,-1)\quad\text{(ponto mais baixo).}
  • Para t=2\pi voltamos a (3,3).
    Esses quatro pontos determinam bem a elipse e são essenciais para o esboço.

Passo 6

Determino a direção do movimento (orientação) ao longo da elipse. Calculo a derivada (vetor velocidade):
\vec{f}\,'(t)=\bigl(-\operatorname{sen} t,\;4\cos t\bigr).
Avalio em t=0:
\vec{f}\,'(0) = (0,\;4),
ou seja, a velocidade inicial aponta para cima. Conclusão didática: a partícula, partindo de (3,3) em t=0, sobe em direção a (2,7). Assim a orientação do movimento é no sentido anti‑horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio) ao percorrer a elipse.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer à mão, na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos e marque o centro em (2,3).
  2. A partir do centro, marque 1 unidade à direita e à esquerda ( x=3 e x=1) e 4 unidades para cima e para baixo ( y=7 e y=-1). Esses quatro pontos são os pontos extremos da elipse.
  3. Ligue suavemente esses pontos com uma curva elíptica — mais estreita horizontalmente e alongada verticalmente.
  4. Marque um ponto inicial (3,3) (direita) e desenhe uma seta indicando que a partícula se move para cima a partir daí (sentido anti‑horário).
  5. Ajuste escala dos eixos para que 1 unidade horizontal e 1 unidade vertical estejam proporcionais (para a elipse não ficar deformada no papel).
    Dica amiga: se precisar de mais pontos, escolha t=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4} etc., calcule (x,y) rapidamente e acerte o contorno.

Resposta

A trajetória é uma elipse com equação
(x-2)^2 + \frac{(y-3)^2}{16} = 1,
centro em (2,3), semi‑eixos a=1 (horizontal) e b=4 (vertical). Pontos extremos: (3,3),(2,7),(1,3),(2,-1). A partícula começa em (3,3) para t=0 e percorre a elipse no sentido anti‑horário.

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