Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a trajetória de uma partícula
cuja posição em função do tempo é dada por
Informações fornecidas que vou usar:
dá as coordenadas
e
da partícula para cada
.
As funções trigonométricas e
estão presentes (assumo
, movimento periódico).
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano e caracterizá‑la (posição, forma, direção do movimento, pontos importantes).
As funções trigonométricas
A tarefa é desenhar (esboçar) a curva no plano e caracterizá‑la (posição, forma, direção do movimento, pontos importantes).
Passo 2
Vou separar as componentes para ficar claro o que cada uma representa:
Explicação didática: aqui a trajetória está dada de forma paramétrica — para cada
eu tenho um par
. Esboçar significa encontrar a curva no plano formada por todos esses pontos ao longo de
e entender como a partícula se move sobre ela.
Passo 3
Para descobrir a forma da curva (sem precisar calcular muitos pontos) eu elimino o parâmetro
. Primeiro isolo as funções trigonométricas:
Agora uso a identidade trigonométrica básica (uma das mais importantes!): para todo
,
Substituindo as expressões em termos de
e
na identidade, obtenho a equação cartesiana da curva:
Comentário didático: essa é a técnica padrão — expressar
e
em
e usar a identidade
para eliminar
.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação obtida:
Isto é a equação de uma elipse com:
- centro em
— porque aparecem os termos e ; - semi-eixo horizontal (semi‑eixo em
) igual a , já que ; - semi-eixo vertical (semi‑eixo em
) igual a , pois .
Explicando: numa elipse padrão, e são os semi-eixos. Aqui (horizontal) e (vertical), logo a elipse é mais “alongada” na direção vertical.
Passo 5
Calculo alguns pontos-chave (fáceis de marcar no esboço) usando valores de
:
- Para
: dá - Para
: dá - Para
: dá - Para
: dá - Para
voltamos a .
Esses quatro pontos determinam bem a elipse e são essenciais para o esboço.
Passo 6
Determino a direção do movimento (orientação) ao longo da elipse. Calculo a derivada (vetor velocidade):
Avalio em
:
ou seja, a velocidade inicial aponta para cima. Conclusão didática: a partícula, partindo de
em
, sobe em direção a
. Assim a orientação do movimento é no sentido anti‑horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio) ao percorrer a elipse.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer à mão, na prova):
- Desenhe um sistema de eixos e marque o centro em
. - A partir do centro, marque 1 unidade à direita e à esquerda (
e ) e 4 unidades para cima e para baixo ( e ). Esses quatro pontos são os pontos extremos da elipse. - Ligue suavemente esses pontos com uma curva elíptica — mais estreita horizontalmente e alongada verticalmente.
- Marque um ponto inicial
(direita) e desenhe uma seta indicando que a partícula se move para cima a partir daí (sentido anti‑horário). - Ajuste escala dos eixos para que 1 unidade horizontal e 1 unidade vertical estejam proporcionais (para a elipse não ficar deformada no papel).
Dica amiga: se precisar de mais pontos, escolhaetc., calcule rapidamente e acerte o contorno.
Resposta
A trajetória é uma elipse com equação
centro em
, semi‑eixos
(horizontal) e
(vertical). Pontos extremos:
. A partícula começa em
para
e percorre a elipse no sentido anti‑horário.