Determine \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w}) sendo A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), onde \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C} e \vec{w}=\overrightarrow{C D}.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no espaço: A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), define os vetores \vec u = \overrightarrow{AB}, \vec v = \overrightarrow{BC} e \vec w = \overrightarrow{CD}, e pede o produto misto \vec u \cdot (\vec v \times \vec w). Para resolver, precisamos calcular diferenças de coordenadas, aplicar a regra do determinante para o produto vetorial e depois o produto escalar.
Passo 2
Calculamos os vetores pelas diferenças de coordenadas:
\vec u = \overrightarrow{AB} = B - A = (5-1,\;0-2,\;1-(-1)) = (4,\,-2,\;2),
\vec v = \overrightarrow{BC} = C - B = (2-5,\;-1-0,\;1-1) = (-3,\,-1,\;0),
\vec w = \overrightarrow{CD} = D - C = (6-2,\;1-(-1),\;-3-1) = (4,\;2,\;-4).
Passo 3
Aplicamos a regra de Sarrus para \vec v \times \vec w: