Determine \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w}) sendo A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), onde \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C} e \vec{w}=\overrightarrow{C D}.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço: A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), define os vetores \vec u = \overrightarrow{AB}, \vec v = \overrightarrow{BC} e \vec w = \overrightarrow{CD}, e pede o produto misto \vec u \cdot (\vec v \times \vec w). Para resolver, precisamos calcular diferenças de coordenadas, aplicar a regra do determinante para o produto vetorial e depois o produto escalar.

Passo 2

Calculamos os vetores pelas diferenças de coordenadas:
\vec u = \overrightarrow{AB} = B - A = (5-1,\;0-2,\;1-(-1)) = (4,\,-2,\;2),
\vec v = \overrightarrow{BC} = C - B = (2-5,\;-1-0,\;1-1) = (-3,\,-1,\;0),
\vec w = \overrightarrow{CD} = D - C = (6-2,\;1-(-1),\;-3-1) = (4,\;2,\;-4).

Passo 3

Aplicamos a regra de Sarrus para \vec v \times \vec w:
\vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3 & -1 & 0 \\\\ 4 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \bigl((-1)(-4)-0\cdot2\bigr)\,\mathbf{i} - \bigl((-3)(-4)-0\cdot4\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl((-3)\cdot2 -(-1)\cdot4\bigr)\,\mathbf{k},
o que resulta em
\vec v \times \vec w = (4,\,-12,\,-2).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar \vec u \cdot (\vec v \times \vec w):
\vec u \cdot (\vec v \times \vec w) = (4)(4) + (-2)(-12) + (2)(-2) = 16 + 24 - 4 = 36.

Resposta

36

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