Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, 4\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\langle t,\;t^{2},\;4\rangle
e pede (a) os vetores tangente unitário \mathbf{T}(t) e normal unitário \mathbf{N}(t), e (b) a curvatura \kappa(t) usando a Fórmula 9. Vamos usar cálculo de derivadas de vetores, normalização e a relação
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}
ou equivalentemente
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada
\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\;2t,\;0\rangle.
Em seguida a sua norma
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}.

Passo 3

O vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{\langle 1,\;2t,\;0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}}.

Passo 4

Derivamos \mathbf{T}(t) para obter
\mathbf{T}'(t) =\bigl\langle -\tfrac{4t}{(1+4t^{2})^{3/2}},\; \tfrac{2}{(1+4t^{2})^{3/2}},\;0\bigr\rangle.
Calculamos sua norma
\|\mathbf{T}'(t)\| =\frac{\sqrt{(-4t)^{2}+2^{2}}}{(1+4t^{2})^{3/2}} =\frac{2\sqrt{1+4t^{2}}}{(1+4t^{2})^{3/2}} =\frac{2}{1+4t^{2}}.

Passo 5

O vetor normal unitário é
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =\frac{\bigl\langle -\tfrac{4t}{(1+4t^{2})^{3/2}},\;\tfrac{2}{(1+4t^{2})^{3/2}},\;0\bigr\rangle} {\tfrac{2}{1+4t^{2}}} =\frac{\langle -2t,\;1,\;0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}}.

Passo 6

Para a curvatura usamos
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{\tfrac{2}{1+4t^{2}}}{\sqrt{1+4t^{2}}} =\frac{2}{(1+4t^{2})^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{\langle 1,\,2t,\,0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}}, \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{\langle -2t,\,1,\,0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}}, \displaystyle \kappa(t)=\frac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}.

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