Sejam os pontos A(1,-2,3), B(2,5,0), C(0,3,-3) e D(1,1,0). Determine o produto misto \overrightarrow{A C} \cdot(\overrightarrow{B C} \times \overrightarrow{C D}).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos \,A(1,-2,3), \,B(2,5,0), \,C(0,3,-3) e \,D(1,1,0)
e pede o produto misto
\overrightarrow{AC}\cdot\bigl(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de vetores em \mathbb{R}^3: subtração de pontos para obter vetores, produto vetorial e, por fim, produto escalar.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC} e \overrightarrow{CD} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;3-(-2),\;-3-3) = (-1,\,5,\,-6),
\overrightarrow{BC} = C - B = (0-2,\;3-5,\;-3-0) = (-2,\,-2,\,-3),
\overrightarrow{CD} = D - C = (1-0,\;1-3,\;0-(-3)) = (1,\,-2,\,3).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD} usando o determinante em \mathbb{R}^3:
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & -2 & -3 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \bigl((-2)\cdot3 - (-3)\cdot(-2)\bigr)\mathbf{i} - \bigl((-2)\cdot3 - (-3)\cdot1\bigr)\mathbf{j} + \bigl((-2)\cdot(-2) - (-2)\cdot1\bigr)\mathbf{k}.
Calculando cada componente:
i\!:\;-6 - 6 = -12, \quad j\!:\;-6 - (-3)= -3\;\Longrightarrow\;-(-3)=3, \quad k\!:\;4 - (-2)=6,
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\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD} = (-12,\;3,\;6).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de \overrightarrow{AC} com esse resultado:
\overrightarrow{AC}\cdot\bigl(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CD}\bigr) = (-1)\cdot(-12) + 5\cdot3 + (-6)\cdot6 = 12 + 15 - 36 = -9.

Resposta

-9

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