Determine
sabendo-se que
, que
é uma base com orientação negativa e que os vetores
, e
são dois a dois perpendiculares. resp.: -6
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte quantidade:
- Dados:
, , . - Dados: os vetores
são dois a dois perpendiculares. - Dados: o conjunto
é uma base com orientação negativa. - Pedido: calcular
.
Passo 2
O que é
geometricamente e algebraicamente?
- A expressão
é o produto misto ou produto triple escalar. Geometricamente, é o volume orientado do paralelepípedo gerado por . - Uma propriedade útil é que o valor absoluto do produto misto é o produto das normas quando os vetores são mutuamente perpendiculares e quando
é paralelo a . - Fórmulas que vamos usar:
e para o produto vetorial onde é o ângulo entre e .
Passo 3
Usar a perpendicularidade de
e
para calcular
.
- Como
e são perpendiculares, o ângulo entre eles é , então . - Logo
Passo 4
Relacionar
com
usando que
é perpendicular a
e a
.
- Se
é perpendicular a e a , então é paralelo a (ou antiparalelo). - Portanto o produto escalar
vale . - Substituindo os valores conhecidos:
então .
Passo 5
Determinar o sinal (orientação) do produto misto a partir da informação sobre a orientação da base.
- O produto misto
é positivo se for uma base de orientação positiva (base “dextrógira”, obedecendo à regra da mão direita), e é negativo se a base tiver orientação negativa. - O enunciado diz explicitamente que
tem orientação negativa. Portanto tem sinal negativo. - Assim
Resposta
-6