Determine (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=\vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w}) sabendo-se que |\vec{u}|=1,|\vec{v}|=2,|\vec{w}|=3, que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é uma base com orientação negativa e que os vetores \vec{u}, \vec{v}, e \vec{w} são dois a dois perpendiculares. resp.: -6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte quantidade:
  • Dados: |\vec{u}|=1, |\vec{v}|=2, |\vec{w}|=3.
  • Dados: os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dois a dois perpendiculares.
  • Dados: o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base com orientação negativa.
  • Pedido: calcular (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 2

O que é (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) geometricamente e algebraicamente?
  • A expressão (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é o produto misto ou produto triple escalar. Geometricamente, é o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Uma propriedade útil é que o valor absoluto do produto misto é o produto das normas quando os vetores são mutuamente perpendiculares e quando \vec{v}\times\vec{w} é paralelo a \vec{u}.
  • Fórmulas que vamos usar: (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),e para o produto vetorial |\vec{v}\times\vec{w}|=|\vec{v}|\;|\vec{w}|\sin\theta,onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{w}.

Passo 3

Usar a perpendicularidade de \vec{v} e \vec{w} para calcular |\vec{v}\times\vec{w}|.
  • Como \vec{v} e \vec{w} são perpendiculares, o ângulo entre eles é \theta=90^\circ, então \sin\theta=1.
  • Logo |\vec{v}\times\vec{w}|=|\vec{v}|\;|\vec{w}|\;=\;2\cdot 3 \;=\;6.

Passo 4

Relacionar \vec{u} com \vec{v}\times\vec{w} usando que \vec{u} é perpendicular a \vec{v} e a \vec{w}.
  • Se \vec{u} é perpendicular a \vec{v} e a \vec{w}, então \vec{u} é paralelo a \vec{v}\times\vec{w} (ou antiparalelo).
  • Portanto o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) vale \pm\,|\vec{u}|\;|\vec{v}\times\vec{w}|.
  • Substituindo os valores conhecidos: |\vec{u}|\;|\vec{v}\times\vec{w}| \;=\;1\cdot 6 \;=\;6,então |(\vec{u},\vec{v},\vec{w})|=6.

Passo 5

Determinar o sinal (orientação) do produto misto a partir da informação sobre a orientação da base.
  • O produto misto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é positivo se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} for uma base de orientação positiva (base “dextrógira”, obedecendo à regra da mão direita), e é negativo se a base tiver orientação negativa.
  • O enunciado diz explicitamente que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} tem orientação negativa. Portanto (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) tem sinal negativo.
  • Assim (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = -\,|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;|\vec{w}| = -6.

Resposta

-6

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