Verifique que os vetores \vec{u}=(1,-3,5), \vec{v}=(-2,0,3) e \vec{w}=(7,-9,9) são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço:
\vec{u}=(1,-3,5), \vec{v}=(-2,0,3) e \vec{w}=(7,-9,9).
A pergunta é: verificar que esses três vetores são coplanares (ou seja, provar que eles pertencem a um mesmo plano).

Passo 2

Ideia principal e critério que vamos usar (explicado passo a passo): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e só se, o volume do paralelepípedo determinado por eles for zero. Esse volume é dado pelo produto misto (ou produto escalar do produto vetorial) (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}, que é igual ao determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores. Em fórmulas:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}= \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Se esse determinante for 0, o volume é 0 e os vetores são coplanares. Aqui u_i,v_i,w_i são as componentes dos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]

Passo 3

Escrevemos o determinante correspondente aos vetores dados:
D=\det\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5\\[4pt] -2 & 0 & 3\\[4pt] 7 & -9 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular D pelo método de Sarrus (mais direto para 3\times3). Escrevemos os três primeiras colunas e repetimos as duas primeiras à direita, e somamos os produtos das diagonais descendentes e subtraímos os das ascendentes:
Diagonais descendentes:
1\cdot 0\cdot 9,\quad (-3)\cdot 3\cdot 7,\quad 5\cdot (-2)\cdot (-9).
Calculando cada termo:
1\cdot 0\cdot 9 = 0,
(-3)\cdot 3\cdot 7 = -63,
5\cdot (-2)\cdot (-9) = 5\cdot 18 = 90.
Soma das descendentes: 0 + (-63) + 90 = 27.
Diagonais ascendentes:
5\cdot 0\cdot 7,\quad 1\cdot 3\cdot (-9),\quad (-3)\cdot (-2)\cdot 9.
Calculando cada termo:
5\cdot 0\cdot 7 = 0,
1\cdot 3\cdot (-9) = -27,
(-3)\cdot (-2)\cdot 9 = 6\cdot 9 = 54.
Soma das ascendentes: 0 + (-27) + 54 = 27.
Agora D = (soma das descendentes) - (soma das ascendentes) = 27 - 27 = 0.

Passo 5

Como o determinante D vale 0, temos (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=0. Isso significa que o volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é zero, logo os vetores são coplanares. Isso já é suficiente para responder ao enunciado.

Passo 6

Para ficar ainda mais claro e prático (útil na prova): quando três vetores são coplanares, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Vamos tentar escrever \vec{w}\) como \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\). Das componentes obtemos o sistema: \[\begin{cases} \alpha -2\beta = 7,\\[4pt] -3\alpha + 0\beta = -9,\\[4pt] 5\alpha + 3\beta = 9. \end{cases}
Da segunda equação vem -3\alpha = -9\Rightarrow \alpha = 3\]. Substituindo na primeira: \(3 - 2\beta = 7 \Rightarrow -2\beta = 4 \Rightarrow \beta = -2.
Verificação na terceira: 5\cdot 3 + 3\cdot(-2) = 15 -6 = 9, que bate com a terceira componente de \vec{w}. Logo
\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v},
o que confirma concretamente a coplanaridade.]

Resposta

Sim. \vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}.

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