Verifique que os vetores \vec{u}=(1,-3,5), \vec{v}=(-2,0,3) e \vec{w}=(7,-9,9) são coplanares.
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço: \vec{u}=(1,-3,5), \vec{v}=(-2,0,3) e \vec{w}=(7,-9,9).
A pergunta é: verificar que esses três vetores são coplanares (ou seja, provar que eles pertencem a um mesmo plano).
Passo 2
Ideia principal e critério que vamos usar (explicado passo a passo): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e só se, o volume do paralelepípedo determinado por eles for zero. Esse volume é dado pelo produto misto (ou produto escalar do produto vetorial) (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}, que é igual ao determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores. Em fórmulas:
Vamos calcular D pelo método de Sarrus (mais direto para 3\times3). Escrevemos os três primeiras colunas e repetimos as duas primeiras à direita, e somamos os produtos das diagonais descendentes e subtraímos os das ascendentes:
Agora D = (soma das descendentes) - (soma das ascendentes) = 27 - 27 = 0.
Passo 5
Como o determinante D vale 0, temos (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=0. Isso significa que o volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é zero, logo os vetores são coplanares. Isso já é suficiente para responder ao enunciado.
Passo 6
Para ficar ainda mais claro e prático (útil na prova): quando três vetores são coplanares, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Vamos tentar escrever \vec{w}\) como \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\). Das componentes obtemos o sistema:
\[\begin{cases} \alpha -2\beta = 7,\\[4pt] -3\alpha + 0\beta = -9,\\[4pt] 5\alpha + 3\beta = 9. \end{cases}
Da segunda equação vem -3\alpha = -9\Rightarrow \alpha = 3\].
Substituindo na primeira: \(3 - 2\beta = 7 \Rightarrow -2\beta = 4 \Rightarrow \beta = -2.
Verificação na terceira: 5\cdot 3 + 3\cdot(-2) = 15 -6 = 9, que bate com a terceira componente de \vec{w}. Logo