Verifique se os vetores \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(1,1,1) e \vec{w}=(0,3,3) formam uma base. resp.: sim.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(1,1,1) e \vec{w}=(0,3,3) formam uma base.
Informações dadas:
\vec{u}=(1,0,1),\qquad \vec{v}=(1,1,1),\qquad \vec{w}=(0,3,3).
A pergunta é única: “Eles formam uma base?” — ou seja, devemos dizer se esses três vetores são uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que significa “formar uma base” (explicação didática e direta): uma coleção de vetores forma uma base de \mathbb{R}^3 se dois requisitos equivalentes forem verdadeiros:
  1. são linearmente independentes e há exatamente 3 vetores; ou
  2. os vetores geram todo \mathbb{R}^3 (qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear deles).
    Para 3 vetores em \mathbb{R}^3 estas duas propriedades coincidem: se eles são linearmente independentes então automaticamente geram \mathbb{R}^3, e vice-versa. Aqui vamos usar o critério prático: formar a matriz cujas colunas são \vec u,\vec v,\vec w e calcular o determinante; se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (logo formam base).
Breve explicação do porquê do determinante: o determinante de uma matriz 3\times3 formada por essas colunas mede (com sinal) o volume do paralelogramo-paralelípedo formado pelos vetores. Se esse volume for zero, eles estão no mesmo plano (linearmente dependentes); se não for zero, ocupam o espaço todo (independentes).

Passo 3

Vamos construir a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(A). Lembre-se: se \det(A)\neq0 então os vetores são linearmente independentes.]

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão na primeira linha (vou mostrar cada menor):
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculamos os determinantes 2\times2 que aparecem:
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-3\cdot1=3-3=0,
\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-3\cdot1=0-3=-3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 0 - 1\cdot(-3) + 0\cdot(\cdots)=0-(-3)+0=3.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=3\neq0. Portanto as colunas de A (ou seja, \vec{u},\vec{v},\vec{w}) são linearmente independentes. Como são três vetores em \mathbb{R}^3 e são linearmente independentes, eles geram \mathbb{R}^3 e, por definição, formam uma base. (Outra forma de dizer: a matriz A é invertível, logo o sistema A x=b tem solução única para qualquer b\in\mathbb{R}^3, mostrando que qualquer vetor é combinação linear das colunas.)
Resumo prático para a prova (dica de amigo): quando te derem três vetores em \mathbb{R}^3, monte a matriz com eles como colunas e calcule o determinante. Se der diferente de zero, responde rapidinho “sim, formam base” — economiza tempo e é à prova de erros bobos. Aqui o cálculo deu \det=3, então tá confirmado.

Resposta

Sim.

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