Determine
sendo
dado por:
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial escrito em coordenadas cilíndricas com os versores
:
O que se pede: determinar
. As informações relevantes que temos:
- As variáveis são
(raio), (ângulo azimutal) e . - Os componentes do campo
são: -
, -
, -
.
-
- Não há outro vetor
fornecido no enunciado.
Passo 2
Interpretação e escolha do método (explicação do porquê): como o enunciado só fornece
e pede um produto com
sem dar
, a única interpretação consistente é que o símbolo
representa o operador nabla (o vetor diferencial)
; ou seja, o pedido é calcular o rotacional (curl)
. Se
fosse um vetor desconhecido, não há como determinar
sem mais dados. Portanto vou calcular
em coordenadas cilíndricas.
Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas: para um campo
o rotacional tem componentes
O que cada termo significa:
-
são derivadas parciais em cada coordenada. - O fator
aparece por causa da métrica cilíndrica (comprimento do arco na direção é ).
Agora aplicamos essas fórmulas com.
Passo 3
Calcular cada componente do rotacional usando os componentes de
.
Primeiro, lembre dos componentes:
Componente
:
Calculando as derivadas parciais:
-
é constante, logo . -
não depende de , logo .
Portanto
Componente
:
-
não depende de , então . -
é constante, então .
Logo
Componente
:
Calcule cada termo separadamente:
-
-
(a derivada de dá , multiplicando pelos -4). -
Agora combine:
Passo 4
Reescrevendo o rotacional completo no sistema de versores cilíndricos:
Interpretação rápida (motivação para lembrar na prova): o fato de
ser constante e os componentes
dependerem da combinação
/
resultou em cancelamentos nas componentes
e
; só sobrou um termo no
proporcional a
.