Determine (\vec{V} x \vec{H}) sendo \vec{H} dado por:
\vec{H}=2 \rho \cos \varphi \vec{a} \rho-4 \rho \operatorname{sen} \varphi \vec{a} \varphi+3 \vec{a} z

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial escrito em coordenadas cilíndricas com os versores \vec a_\rho,\vec a_\varphi,\vec a_z:
\vec{H}=2\rho\cos\varphi\,\vec a_\rho-4\rho\sin\varphi\,\vec a_\varphi+3\,\vec a_z.
O que se pede: determinar (\vec{V}\times\vec{H}). As informações relevantes que temos:
  • As variáveis são \rho (raio), \varphi (ângulo azimutal) e z.
  • Os componentes do campo \vec H são:
    • H_\rho = 2\rho\cos\varphi,
    • H_\varphi = -4\rho\sin\varphi,
    • H_z = 3.
  • Não há outro vetor \vec V fornecido no enunciado.

Passo 2

Interpretação e escolha do método (explicação do porquê): como o enunciado só fornece \vec H e pede um produto com \vec V sem dar \vec V, a única interpretação consistente é que o símbolo \vec V representa o operador nabla (o vetor diferencial) \vec\nabla; ou seja, o pedido é calcular o rotacional (curl) \vec\nabla\times\vec H. Se \vec V fosse um vetor desconhecido, não há como determinar \vec V\times\vec H sem mais dados. Portanto vou calcular \vec\nabla\times\vec H em coordenadas cilíndricas.
Fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas: para um campo
\vec A = A_\rho(\rho,\varphi,z)\,\vec a_\rho + A_\varphi(\rho,\varphi,z)\,\vec a_\varphi + A_z(\rho,\varphi,z)\,\vec a_z,
o rotacional tem componentes
(\vec\nabla\times\vec A)_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial\varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z},
(\vec\nabla\times\vec A)_\varphi = \frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial\rho},
(\vec\nabla\times\vec A)_z = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right).
O que cada termo significa:
  • \partial/\partial\rho,\\ \partial/\partial\varphi,\\ \partial/\partial z são derivadas parciais em cada coordenada.
  • O fator 1/\rho aparece por causa da métrica cilíndrica (comprimento do arco na direção \varphi é \rho\,d\varphi).
    Agora aplicamos essas fórmulas com A_\rho=H_\rho,\\ A_\varphi=H_\varphi,\\ A_z=H_z.

Passo 3

Calcular cada componente do rotacional usando os componentes de \vec H.
Primeiro, lembre dos componentes:
H_\rho = 2\rho\cos\varphi,\qquad H_\varphi = -4\rho\sin\varphi,\qquad H_z = 3.
Componente \rho:
(\vec\nabla\times\vec H)_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi} - \frac{\partial H_\varphi}{\partial z}.
Calculando as derivadas parciais:
  • H_z=3 é constante, logo \dfrac{\partial H_z}{\partial\varphi}=0.
  • H_\varphi=-4\rho\sin\varphi não depende de z, logo \dfrac{\partial H_\varphi}{\partial z}=0.
    Portanto
(\vec\nabla\times\vec H)_\rho = \frac{1}{\rho}\cdot 0 - 0 = 0.
Componente \varphi:
(\vec\nabla\times\vec H)_\varphi = \frac{\partial H_\rho}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial\rho}.
  • H_\rho=2\rho\cos\varphi não depende de z, então \dfrac{\partial H_\rho}{\partial z}=0.
  • H_z=3 é constante, então \dfrac{\partial H_z}{\partial\rho}=0.
    Logo
(\vec\nabla\times\vec H)_\varphi = 0 - 0 = 0.
Componente z:
(\vec\nabla\times\vec H)_z = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho H_\varphi)-\frac{\partial H_\rho}{\partial\varphi}\right).
Calcule cada termo separadamente:
  • \rho H_\varphi = \rho\cdot(-4\rho\sin\varphi) = -4\rho^{2}\sin\varphi.
  • \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho H_\varphi) = \dfrac{\partial}{\partial\rho}(-4\rho^{2}\sin\varphi) = -8\rho\sin\varphi (a derivada de \rho^2 2\rho, multiplicando pelos -4).
  • \dfrac{\partial H_\rho}{\partial\varphi} = \dfrac{\partial}{\partial\varphi}(2\rho\cos\varphi) = 2\rho\cdot(-\sin\varphi) = -2\rho\sin\varphi.
    Agora combine:
(\vec\nabla\times\vec H)_z = \frac{1}{\rho}\Big(-8\rho\sin\varphi - (-2\rho\sin\varphi)\Big) = \frac{1}{\rho}\Big(-8\rho\sin\varphi + 2\rho\sin\varphi\Big) = \frac{1}{\rho}(-6\rho\sin\varphi) = -6\sin\varphi.

Passo 4

Reescrevendo o rotacional completo no sistema de versores cilíndricos:
\vec\nabla\times\vec H = 0\;\vec a_\rho + 0\;\vec a_\varphi + (-6\sin\varphi)\;\vec a_z = -6\sin\varphi\,\vec a_z.
Interpretação rápida (motivação para lembrar na prova): o fato de H_z ser constante e os componentes \rho,\varphi dependerem da combinação \rho\cos\varphi / \rho\sin\varphi resultou em cancelamentos nas componentes \rho e \varphi; só sobrou um termo no z proporcional a \sin\varphi.

Resposta

\vec\nabla\times\vec H = -6\sin\varphi\,\vec a_z

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