Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
9. \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}+t, t^{2}-t, t^{3}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2}+t,\;t^{2}-t,\;t^{3}\rangle
e pede a velocidade vetorial \mathbf{v}(t), a aceleração \mathbf{a}(t) e a velocidade escalar (módulo de \mathbf{v}(t)). Para isso usaremos derivadas coordenada a coordenada e, em seguida, o cálculo de norma de vetor.

Passo 2

A velocidade vetorial é a derivada de \mathbf{r}(t) em relação a t. Aplicando a regra da derivada em cada componente, temos
\mathbf{v}(t)=\frac{d}{dt}\langle t^{2}+t,\;t^{2}-t,\;t^{3}\rangle =\langle 2t+1,\;2t-1,\;3t^{2}\rangle.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade vetorial. Derivando cada componente de \mathbf{v}(t), obtemos
\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\langle 2t+1,\;2t-1,\;3t^{2}\rangle =\langle 2,\;2,\;6t\rangle.

Passo 4

A velocidade escalar é o módulo de \mathbf{v}(t). Calculamos
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(2t+1)^{2}+(2t-1)^{2}+(3t^{2})^{2}} =\sqrt{\bigl(4t^{2}+4t+1\bigr)+\bigl(4t^{2}-4t+1\bigr)+9t^{4}} =\sqrt{9t^{4}+8t^{2}+2}.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\;2t-1,\;3t^{2}\rangle \mathbf{a}(t)=\langle 2,\;2,\;6t\rangle \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{9t^{4}+8t^{2}+2}

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