Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
11. \mathbf{r}(t)=\sqrt{2} t \mathbf{i}+e^{t} \mathbf{j}+e^{-t} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição \mathbf{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i} + e^{t}\,\mathbf{j} + e^{-t}\,\mathbf{k}
e pede a velocidade \mathbf{v}(t), a aceleração \mathbf{a}(t) e a velocidade escalar v_{\mathrm{esc}}(t).
O conteúdo é derivação de funções vetoriais componente a componente e cálculo de magnitude de vetor. Lembrando que \displaystyle \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t), \displaystyle \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) e \displaystyle v_{\mathrm{esc}}(t)=\|\mathbf{v}(t)\|.

Passo 2

Derivando componente a componente para obter a velocidade:
\mathbf{v}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)\,\mathbf{j} +\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)\,\mathbf{k} =\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}.

Passo 3

Derivando \mathbf{v}(t) para obter a aceleração:
\mathbf{a}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)\,\mathbf{j} +\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr)\,\mathbf{k} =0\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Para a velocidade escalar calculamos a norma de \mathbf{v}(t):
v_{\mathrm{esc}}(t) =\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(e^{t})^{2}+(-e^{-t})^{2}} =\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}.
Usando a identidade e^{2t}+e^{-2t}=2\operatorname{cosh}(2t) e 1+\operatorname{cosh}(2t)=2\operatorname{cosh}^{2}(t), obtemos
v_{\mathrm{esc}}(t) =\sqrt{2+2\operatorname{cosh}(2t)} =\sqrt{4\operatorname{cosh}^{2}(t)} =2\operatorname{cosh}(t).

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}. \displaystyle \mathbf{a}(t)=0\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}. \displaystyle v_{\mathrm{esc}}(t)=\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}=2\operatorname{cosh}(t).

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