Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
10. \mathbf{r}(t)=\langle 2 \cos t, 3 t, 2 \operatorname{sen} t\rangle

Passo 1

O enunciado fornece a posição de uma partícula em função do tempo
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;3t,\;2\sin t\rangle
e pede:
– a velocidade vetorial \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt},
– a aceleração vetorial \mathbf{a}(t)=\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},
– a velocidade escalar (o módulo de \mathbf{v}(t)).
Para isso, vamos usar derivação componente a componente e, em seguida, norma de vetor.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t:
\dfrac{d}{dt}[2\cos t]=-2\sin t,
\dfrac{d}{dt}[3t]=3,
\dfrac{d}{dt}[2\sin t]=2\cos t.
Logo
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\langle -2\sin t,\;3,\;2\cos t\rangle.

Passo 3

Derivando agora \mathbf{v}(t) componente a componente:
\dfrac{d}{dt}[-2\sin t]=-2\cos t,
\dfrac{d}{dt}[3]=0,
\dfrac{d}{dt}[2\cos t]=-2\sin t.
Assim
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =\langle -2\cos t,\;0,\;-2\sin t\rangle.

Passo 4

A velocidade escalar é o módulo de \mathbf{v}(t):
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(-2\sin t)^2+3^2+(2\cos t)^2} =\sqrt{4\sin^2 t+9+4\cos^2 t} =\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t)+9} =\sqrt{4+9} =\sqrt{13}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=\langle -2\sin t,\;3,\;2\cos t\rangle \displaystyle \mathbf{a}(t)=\langle -2\cos t,\;0,\;-2\sin t\rangle \displaystyle\text{velocidade escalar}=\sqrt{13}

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