Determine a velocidade escalar média
de uma partícula que percorre uma trajectória rectilínea em três etapas distintas:
. Na primeira metade da distância total, a partícula se desloca com velocidade constante
.
. Na segunda metade da distância, o deslocamento ocorre em dois intervalos de tempo iguais:
- Durante a primeira metade do tempo, a partícula desloca-se com velocidade
.
- Durante a segunda metade do tempo, a partícula desloca-se com velocidade
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede a velocidade escalar média
da partícula. - Informação sobre o percurso:
- A partícula faz um trajecto rectilíneo de comprimento total; chamo esse comprimento de
. -
. Na primeira metade da distância (isto é, distância ) a velocidade é constante e igual a . -
. Na segunda metade da distância (isto é, distância ) o movimento ocorre em dois intervalos de tempo iguais: - No primeiro desses dois intervalos de tempo a velocidade é
. - No segundo intervalo de tempo (igual ao anterior) a velocidade é
.
- No primeiro desses dois intervalos de tempo a velocidade é
- A partícula faz um trajecto rectilíneo de comprimento total; chamo esse comprimento de
O objetivo é achar
em função de
.
Passo 2
Conceito e variáveis — o que vamos usar e por quê.
- Definição de velocidade escalar média: a velocidade média ao longo de um percurso é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
Aqui
é a distância total e
é o tempo total gasto.
- Vamos decompor o tempo total em dois termos:
-
: tempo gasto na primeira metade da distância (onde a velocidade é ). -
: tempo gasto para percorrer a segunda metade da distância (onde há dois intervalos de tempo iguais com velocidades e ).
-
- Importante: na segunda metade da distância os dois intervalos têm a mesma duração; chamo essa duração de
. Então . Durante o primeiro intervalo da segunda metade, a distância percorrida é ; no segundo, é . A soma dessas duas distâncias deve ser (a segunda metade da distância total).
Passo 3
Calcular o tempo
gasto na primeira metade da distância.
- Na primeira metade a velocidade é constante
e a distância é . Tempo é distância dividido por velocidade, logo:
Passo 4
Determinar
(a duração de cada um dos dois subintervalos na segunda metade) usando a condição de que a soma das distâncias nesses dois subintervalos é
.
- Distância percorrida no primeiro subintervalo da segunda metade:
. - Distância no segundo subintervalo:
. - Soma:
- Como essa soma deve ser a segunda metade da distância:
- Isolando
:
- Portanto o tempo total da segunda metade é
Passo 5
Calcular o tempo total
e então usar a definição de velocidade média para obter
.
- Tempo total:
- Aplicando a definição
:
- Podemos simplificar cancelando
(assumindo ):
- Colocando em denominador comum e simplificando:
Passo 6
Verificação rápida (sanity check) e interpretação curta para ganhar confiança.
- Se
então e , resultando em : faz sentido (se tudo é igual, média é esse valor). - A fórmula mostra que
combina a contribuição do trecho percorrido a velocidade e a contribuição do tempo-partido com e . Não é uma média aritmética simples porque a média de velocidades depende do tempo gasto em cada velocidade e do espaço percorrido em cada trecho.