Determine a velocidade escalar média v_{m} de uma partícula que percorre uma trajectória rectilínea em três etapas distintas:
1^{\circ}. Na primeira metade da distância total, a partícula se desloca com velocidade constante v.
2^{\circ}. Na segunda metade da distância, o deslocamento ocorre em dois intervalos de tempo iguais:
  • Durante a primeira metade do tempo, a partícula desloca-se com velocidade u.
  • Durante a segunda metade do tempo, a partícula desloca-se com velocidade w.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede a velocidade escalar média v_{m} da partícula.
  • Informação sobre o percurso:
    • A partícula faz um trajecto rectilíneo de comprimento total; chamo esse comprimento de S.
    • 1^{\circ}. Na primeira metade da distância (isto é, distância \tfrac{S}{2}) a velocidade é constante e igual a v.
    • 2^{\circ}. Na segunda metade da distância (isto é, distância \tfrac{S}{2}) o movimento ocorre em dois intervalos de tempo iguais:
      • No primeiro desses dois intervalos de tempo a velocidade é u.
      • No segundo intervalo de tempo (igual ao anterior) a velocidade é w.
O objetivo é achar v_{m} em função de v,u,w.

Passo 2

Conceito e variáveis — o que vamos usar e por quê.
  • Definição de velocidade escalar média: a velocidade média ao longo de um percurso é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
v_{m}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}=\frac{S}{T_{\text{total}}}.â
Aqui \,S é a distância total e T_{\text{total}} é o tempo total gasto.
  • Vamos decompor o tempo total em dois termos:
    • t_{1}: tempo gasto na primeira metade da distância (onde a velocidade é v).
    • T_{2}: tempo gasto para percorrer a segunda metade da distância (onde há dois intervalos de tempo iguais com velocidades u e w).
  • Importante: na segunda metade da distância os dois intervalos têm a mesma duração; chamo essa duração de \tau. Então T_{2}=2\tau. Durante o primeiro intervalo da segunda metade, a distância percorrida é \tau u; no segundo, é \tau w. A soma dessas duas distâncias deve ser \tfrac{S}{2} (a segunda metade da distância total).

Passo 3

Calcular o tempo t_{1} gasto na primeira metade da distância.
  • Na primeira metade a velocidade é constante v e a distância é \tfrac{S}{2}. Tempo é distância dividido por velocidade, logo:
t_{1}=\frac{\tfrac{S}{2}}{v}=\frac{S}{2v}.

Passo 4

Determinar \tau (a duração de cada um dos dois subintervalos na segunda metade) usando a condição de que a soma das distâncias nesses dois subintervalos é \tfrac{S}{2}.
  • Distância percorrida no primeiro subintervalo da segunda metade: \tau u.
  • Distância no segundo subintervalo: \tau w.
  • Soma:
\tau u+\tau w=\tau(u+w).
  • Como essa soma deve ser a segunda metade da distância:
\tau(u+w)=\frac{S}{2}.
  • Isolando \tau:
\tau=\frac{\tfrac{S}{2}}{u+w}=\frac{S}{2(u+w)}.
  • Portanto o tempo total da segunda metade é
T_{2}=2\tau=2\cdot\frac{S}{2(u+w)}=\frac{S}{u+w}.

Passo 5

Calcular o tempo total T_{\text{total}} e então usar a definição de velocidade média para obter v_{m}.
  • Tempo total:
T_{\text{total}}=t_{1}+T_{2}=\frac{S}{2v}+\frac{S}{u+w}.
  • Aplicando a definição \,v_{m}=\dfrac{S}{T_{\text{total}}}:
v_{m}=\frac{S}{\dfrac{S}{2v}+\dfrac{S}{u+w}}.
  • Podemos simplificar cancelando S (assumindo S\neq 0):
v_{m}=\frac{1}{\dfrac{1}{2v}+\dfrac{1}{u+w}}.
  • Colocando em denominador comum e simplificando:
v_{m}=\frac{1}{\dfrac{u+w+2v}{2v(u+w)}}=\frac{2v(u+w)}{u+w+2v}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) e interpretação curta para ganhar confiança.
  • Se u=w=v então u+w+2v=4v e 2v(u+w)=2v\cdot 2v=4v^{2}, resultando em v_{m}=4v^{2}/4v=v: faz sentido (se tudo é igual, média é esse valor).
  • A fórmula mostra que v_{m} combina a contribuição do trecho percorrido a velocidade v e a contribuição do tempo-partido com u e w. Não é uma média aritmética simples porque a média de velocidades depende do tempo gasto em cada velocidade e do espaço percorrido em cada trecho.

Resposta

v_{m}=\frac{2v(u+w)}{u+w+2v}

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