São dados três vetores em metros:
\begin{aligned} & \vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+1,0 \hat{\mathrm{k}} . \end{aligned}
Determine \vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2} \times \vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá três vetores (em metros) cujos componentes eu peguei do texto:
\vec{d}_1 = -3{,}0\,\hat{\mathrm{i}} + 3{,}0\,\hat{\mathrm{j}} + 2{,}0\,\hat{\mathrm{k}}
\vec{d}_2 = -2{,}0\,\hat{\mathrm{i}} - 4{,}0\,\hat{\mathrm{j}} + 2{,}0\,\hat{\mathrm{k}}
\vec{d}_3 = 2{,}0\,\hat{\mathrm{i}} + 3{,}0\,\hat{\mathrm{j}} + 1{,}0\,\hat{\mathrm{k}}
O que o problema pede: calcular o produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros), isto é:
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr).

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculá-lo componente a componente (mini-aula):
  • Se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), então o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem componentes
(\vec{a}\times\vec{b})_x = a_y b_z - a_z b_y,
(\vec{a}\times\vec{b})_y = a_z b_x - a_x b_z,
(\vec{a}\times\vec{b})_z = a_x b_y - a_y b_x.
  • Essa fórmula vem da definição via determinante com os versores \hat{\mathrm{i}},\hat{\mathrm{j}},\hat{\mathrm{k}}, mas para a prova decorar ou saber aplicar essas três expressões é suficiente.
  • O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois originais; seus componentes são combinações simples dos componentes dos vetores originais.

Passo 3

Vou calcular \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} usando as componentes que listei:
  • Tome \vec{d}_2 = ( -2{,}0,\,-4{,}0,\,2{,}0 ) e \vec{d}_3 = (2{,}0,\,3{,}0,\,1{,}0).
    Aplicando as fórmulas:
(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_x = (-4{,}0)\cdot(1{,}0) - (2{,}0)\cdot(3{,}0) = -4{,}0 - 6{,}0 = -10{,}0,
(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_y = (2{,}0)\cdot(2{,}0) - (-2{,}0)\cdot(1{,}0) = 4{,}0 - (-2{,}0) = 6{,}0,
(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_z = (-2{,}0)\cdot(3{,}0) - (-4{,}0)\cdot(2{,}0) = -6{,}0 - (-8{,}0) = 2{,}0.
Portanto
\vec{d}_2\times\vec{d}_3 = -10{,}0\,\hat{\mathrm{i}} + 6{,}0\,\hat{\mathrm{j}} + 2{,}0\,\hat{\mathrm{k}}.

Passo 4

Mini-aula rápida sobre produto escalar (dot product):
  • Se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
  • É só multiplicar componente a componente e somar.
Agora aplico isso com \vec{d}_1 e \vec{d}_2\times\vec{d}_3:
\vec{d}_1\cdot\bigl(\vec{d}_2\times\vec{d}_3\bigr)=(-3{,}0)\cdot(-10{,}0) + (3{,}0)\cdot(6{,}0) + (2{,}0)\cdot(2{,}0).
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
(-3{,}0)\cdot(-10{,}0) = 30{,}0,
(3{,}0)\cdot(6{,}0) = 18{,}0,
(2{,}0)\cdot(2{,}0) = 4{,}0.
Somando:
30{,}0 + 18{,}0 + 4{,}0 = 52{,}0.

Passo 5

Checagem alternativa (conhecimento extra útil para prova): o produto misto também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Ou seja,
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)= \begin{vmatrix} -3{,}0 & 3{,}0 & 2{,}0\\[4pt] -2{,}0 & -4{,}0 & 2{,}0\\[4pt] 2{,}0 & 3{,}0 & 1{,}0 \end{vmatrix},
e expandindo essa determinante obtém-se também 52{,}0. É uma forma rápida de calcular diretamente quando preferir determinantes.]

Passo 6

Conclusão rápida e encorajamento: o valor do produto misto ficou positivo, 52{,}0. É normal ficar confuso com sinais nas primeiras vezes — conferir componente a componente como fiz acima é a maneira mais segura na prova. Vai dar certo!

Resposta

52{,}0\\ \mathrm{m}^3

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