Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico dado por
\vec{E}(\mathrm{y}, \mathrm{t})=\left(3,10 \times 10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\right) \operatorname{Re}\left\{\exp \left[i\left(k y-12,65 \times 10^{12} t\right)\right]\right\} \hat{k}
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Qual é o comprimento de onda e o número de onda?
(c) Escreva a equação vetorial para \vec{B}(\mathrm{y}, \mathrm{t}).
(d) Verifique se \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações de Maxwell

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando os dados diretamente do enunciado.
  • Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
\vec{E}(y,t)=\left(3{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}\right)\operatorname{Re}\left\{\exp\!\left[i\left(k y-12{,}65\times10^{12}\,t\right)\right]\right\}\hat{k}.
  • Do enunciado identifico:
    • Amplitude de \vec{E}: E_0=3{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
    • Dependência temporal: \omega = 12{,}65\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}} (peguei do enunciado).
    • Dependência espacial: \exp(i k y) — a variável espacial é y; o número de onda é k (ainda desconhecido numericamente).
    • Direção do vetor elétrico: \hat{k} (vetor unitário associado ao eixo z na convenção \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}).
  • O enunciado pede:
    (a) direção e sentido de propagação da onda;
    (b) comprimento de onda e número de onda;
    (c) equação vetorial para \vec{B}(y,t);
    (d) verificar que \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações de Maxwell (no vácuo).

Passo 2

Determinar a direção e sentido de propagação.
  • Em uma representação de onda plana complexa do tipo \exp[i(k y-\omega t)], a fase fixa k y-\omega t= const desloca-se no sentido de crescimento de y quando o sinal de ky-\omega t é esse. Intuitivamente, para aumentar y e manter a fase constante é necessário que o tempo também aumente, o que corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo y.
  • Portanto a direção de propagação é ao longo do eixo y e o sentido é no sentido positivo de y (isto é, em +\hat{\jmath}).
Observação física rápida (útil para a prova): a forma k y-\omega t indica propagação em +\hat{\jmath}; a forma -k y-\omega t indicaria propagação em -\hat{\jmath}.

Passo 3

Determinar o número de onda k e o comprimento de onda \lambda.
  • Para ondas eletromagnéticas no vácuo vale a relação de dispersão
\omega = c k,
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui uso c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor usado em provas quando não é pedida maior precisão).
  • Isolando k,
k=\frac{\omega}{c}.
Substituindo \omega=12{,}65\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
k=\frac{12{,}65\times10^{12}}{3{,}00\times10^{8}} =4{,}2166\ldots\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando razoavelmente:
k\approx 4{,}22\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}. }
  • O comprimento de onda \lambda está relacionado com k por
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Usando o valor de k,
\lambda=\frac{2\pi}{4{,}2166\ldots\times10^{4}} \approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
(ou seja, \lambda\approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, cerca de 149\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 4

Escrever \vec{B}(y,t): direção, amplitude e fase.
  • Relembrando um fato importante para ondas eletromagnéticas no vácuo:
    • \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat{n} formam um triângulo retângulo orientado pelo produto vetorial: \vec{S}\propto\vec{E}\times\vec{B} aponta na direção de propagação \hat{n}.
    • A amplitude magnética B_0 relaciona-se com a amplitude elétrica E_0 por
    B_0=\frac{E_0}{c}.
    • A fase espacial-temporal de \vec{B} é a mesma de \vec{E} (para onda plana no vácuo, há mesma dependência \exp[i(ky-\omega t)]), podendo haver um possível fator de sinal dependendo da escolha de orientação das componentes.
  • No enunciado: propagação em +\hat{\jmath}, \vec{E} aponta em \hat{k} (ou seja, no eixo z). Queremos \vec{B} tal que \vec{E}\times\vec{B} aponte em +\hat{\jmath}. Tomando \vec{E}=E_0\cos(ky-\omega t)\,\hat{k} e \vec{B}=B_0\cos(ky-\omega t)\,\hat{u}_B, pede-se \hat{k}\times\hat{u}_B=+\hat{\jmath}.
  • Resolvendo o produto vetorial com a base cartesiana:
    • \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}. Logo \hat{u}_B=\hat{\imath} (isto é, +\hat{x}) é a escolha correta para que \vec{E}\times\vec{B} aponte em +\hat{\jmath}.
  • Portanto a forma vetorial (usando a parte real, como no enunciado) é
\vec{B}(y,t)=B_0\,\operatorname{Re}\left\{\exp\!\left[i(ky-\omega t)\right]\right\}\hat{\imath}, \qquad B_0=\frac{E_0}{c}.
  • Substituindo numericamente E_0=3{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{V/m} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
B_0=\frac{3{,}10\times10^{5}}{3{,}00\times10^{8}}=1{,}0333\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{T}\approx 1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
  • Escrevendo a expressão completa (com a mesma \omega do enunciado),
\vec{B}(y,t)=\left(1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{T}\right)\operatorname{Re}\left\{\exp\!\left[i\left(ky-12{,}65\times10^{12}\,t\right)\right]\right\}\hat{\imath}.

Passo 5

Verificar as equações de Maxwell no vácuo (passo a passo, usando as formas habituais sem cargas nem correntes):
\begin{aligned} &\nabla\cdot\vec{E}=0,\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0,\\\ &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\\\ &\nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{aligned}
Vou trabalhar com as partes reais equivalentes: escrever as componentes temporais como cosseno para derivar explicitamente.
  • Escrevo as componentes reais usadas para derivação:
E_z(y,t)=E_0\cos(ky-\omega t),\qquad B_x(y,t)=B_0\cos(ky-\omega t),
com E_0 e B_0 já definidos e \omega=12{,}65\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.
(a) Divergências:
  • \nabla\cdot\vec{E}=\partial_x E_x+\partial_y E_y+\partial_z E_z. Aqui E_x=E_y=0 e E_z depende apenas de y, não de z. Logo
\nabla\cdot\vec{E}=0.
  • \nabla\cdot\vec{B} análogo: B_y=B_z=0 e B_x depende apenas de y, logo
\nabla\cdot\vec{B}=0.
Assim, as equações de Gauss são satisfeitas (não há carga no volume considerado).
(b) Lei de Faraday: \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  • Calcular \nabla\times\vec{E}. Em coordenadas cartesianas, a única componente não nula é a componente x (já que apenas E_z\neq0 e depende de y):
(\nabla\times\vec{E})_x=\frac{\partial E_z}{\partial y}=-kE_0\sin(ky-\omega t).
As outras componentes são nulas.
  • Calcular -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}. Como B_x=B_0\cos(ky-\omega t),
-\frac{\partial B_x}{\partial t}=-\bigl(\omega B_0\sin(ky-\omega t)\bigr)=-\omega B_0\sin(ky-\omega t).
As componentes y,z são nulas.
  • Comparando componentes na direção \hat{\imath} (x):
-kE_0\sin(ky-\omega t)\stackrel{?}{=}-\omega B_0\sin(ky-\omega t).
Cancelando -\sin(\cdot) (não é identicamente zero), obter:
kE_0=\omega B_0.
Usando B_0=E_0/c e \omega=c k (relação de dispersão), o lado direito é \omega B_0=(c k)(E_0/c)=kE_0. Logo a igualdade é satisfeita, e portanto \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t vale.
(c) Lei de Ampère-Maxwell: \nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  • Calcular \nabla\times\vec{B}. A única componente não nula é a componente z:
(\nabla\times\vec{B})_z=\frac{\partial B_x}{\partial y}= -k B_0\sin(ky-\omega t)\times(-1)?\\ \text{(faça a conta corretamente)}.ç
Fazendo a derivada corretamente: \partial_y B_x=\partial_y\bigl(B_0\cos(ky-\omega t)\bigr)=-k B_0\sin(ky-\omega t). Porém a componente z do rotacional é
(\nabla\times\vec{B})_z=\partial_x B_y-\partial_y B_x=0-(-kB_0\sin)=kB_0\sin(ky-\omega t).
(ou seja, a fórmula completa dá sinal positivo: (\nabla\times\vec{B})_z=kB_0\sin(\cdot).)
  • Calcular \mu_0\varepsilon_0\partial_t \vec{E}. Como \partial_t E_z=\omega E_0\sin(ky-\omega t) e \mu_0\varepsilon_0=1/c^2,
\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\omega E_0\sin(ky-\omega t).
  • Comparando na direção \hat{k} (z):
kB_0\sin(ky-\omega t)\stackrel{?}{=}\frac{\omega}{c^2}E_0\sin(ky-\omega t).
Cancelando \sin(\cdot) e usando B_0=E_0/c obtemos
k\frac{E_0}{c}=\frac{\omega}{c^2}E_0 \quad\Longrightarrow\quad k c=\omega,
que é exatamente a relação de dispersão válida no vácuo. Portanto a igualdade vale e a lei de Ampère-Maxwell é satisfeita.
  • Conclusão desta verificação: todas as quatro equações de Maxwell no vácuo são satisfeitas por essas expressões de \vec{E} e \vec{B}, desde que se tome B_0=E_0/c e \omega=c k.

Resposta

(a) A onda se propaga ao longo do eixo y, no sentido positivo (direção +\hat{\jmath}).
(b) k\approx 4{,}22\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}} e \lambda\approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
(c) \displaystyle \vec{B}(y,t)=\left(1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{T}\right)\operatorname{Re}\!\left\{\exp\!\left[i\left(ky-12{,}65\times10^{12}\,t\right)\right]\right\}\hat{\imath}.
(d) Sim: \vec{E} e \vec{B} verificam \nabla\cdot\vec{E}=0, \nabla\cdot\vec{B}=0, \nabla\times\vec{E}=-\partial_t\vec{B} e \nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec{E} desde que \omega=c k e B_0=E_0/c.

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