Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico dado por
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
(b) Qual é o comprimento de onda e o número de onda?
(c) Escreva a equação vetorial para
.
(d) Verifique se
e
satisfazem as equações de Maxwell
(b) Qual é o comprimento de onda e o número de onda?
(c) Escreva a equação vetorial para
(d) Verifique se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando os dados diretamente do enunciado.
- Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
- Do enunciado identifico:
- Amplitude de
: . - Dependência temporal:
(peguei do enunciado). - Dependência espacial:
— a variável espacial é ; o número de onda é (ainda desconhecido numericamente). - Direção do vetor elétrico:
(vetor unitário associado ao eixo na convenção ).
- Amplitude de
- O enunciado pede:
(a) direção e sentido de propagação da onda;
(b) comprimento de onda e número de onda;
(c) equação vetorial para;
(d) verificar quee satisfazem as equações de Maxwell (no vácuo).
Passo 2
Determinar a direção e sentido de propagação.
- Em uma representação de onda plana complexa do tipo
, a fase fixa const desloca-se no sentido de crescimento de quando o sinal de é esse. Intuitivamente, para aumentar e manter a fase constante é necessário que o tempo também aumente, o que corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo . - Portanto a direção de propagação é ao longo do eixo
e o sentido é no sentido positivo de (isto é, em ).
Observação física rápida (útil para a prova): a forma
indica propagação em
; a forma
indicaria propagação em
.
Passo 3
Determinar o número de onda
e o comprimento de onda
.
- Para ondas eletromagnéticas no vácuo vale a relação de dispersão
onde
é a velocidade da luz no vácuo. Aqui uso
(valor usado em provas quando não é pedida maior precisão).
- Isolando
,
Substituindo
e
,
Arredondando razoavelmente:
- O comprimento de onda
está relacionado com por
Usando o valor de
,
(ou seja,
, cerca de
).
Passo 4
Escrever
: direção, amplitude e fase.
- Relembrando um fato importante para ondas eletromagnéticas no vácuo:
-
, e o vetor de propagação formam um triângulo retângulo orientado pelo produto vetorial: aponta na direção de propagação . - A amplitude magnética
relaciona-se com a amplitude elétrica por
- A fase espacial-temporal de
é a mesma de (para onda plana no vácuo, há mesma dependência ), podendo haver um possível fator de sinal dependendo da escolha de orientação das componentes.
-
- No enunciado: propagação em
, aponta em (ou seja, no eixo ). Queremos tal que aponte em . Tomando e , pede-se . - Resolvendo o produto vetorial com a base cartesiana:
-
. Logo (isto é, ) é a escolha correta para que aponte em .
-
- Portanto a forma vetorial (usando a parte real, como no enunciado) é
- Substituindo numericamente
e ,
- Escrevendo a expressão completa (com a mesma
do enunciado),
Passo 5
Verificar as equações de Maxwell no vácuo (passo a passo, usando as formas habituais sem cargas nem correntes):
Vou trabalhar com as partes reais equivalentes: escrever as componentes temporais como cosseno para derivar explicitamente.
- Escrevo as componentes reais usadas para derivação:
com
e
já definidos e
.
(a) Divergências:
-
. Aqui e depende apenas de , não de . Logo
-
análogo: e depende apenas de , logo
Assim, as equações de Gauss são satisfeitas (não há carga no volume considerado).
(b) Lei de Faraday:
.
- Calcular
. Em coordenadas cartesianas, a única componente não nula é a componente (já que apenas e depende de ):
As outras componentes são nulas.
- Calcular
. Como ,
As componentes
são nulas.
- Comparando componentes na direção
(x):
Cancelando
(não é identicamente zero), obter:
Usando
e
(relação de dispersão), o lado direito é
. Logo a igualdade é satisfeita, e portanto
vale.
(c) Lei de Ampère-Maxwell:
.
- Calcular
. A única componente não nula é a componente :
Fazendo a derivada corretamente:
. Porém a componente
do rotacional é
(ou seja, a fórmula completa dá sinal positivo:
.)
- Calcular
. Como e ,
- Comparando na direção
(z):
Cancelando
e usando
obtemos
que é exatamente a relação de dispersão válida no vácuo. Portanto a igualdade vale e a lei de Ampère-Maxwell é satisfeita.
- Conclusão desta verificação: todas as quatro equações de Maxwell no vácuo são satisfeitas por essas expressões de
e , desde que se tome e .
Resposta
(a) A onda se propaga ao longo do eixo
, no sentido positivo (direção
).
(b) e
.
(c)
(d) Sim: e
verificam
,
,
e
desde que
e
.
(b)
(c)
(d) Sim: