Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
\mathbf{V} para as verdadeiras e \mathbf{F} para as falsas, justificando as respostas.
( ) Se a_{n}>0 \forall n \in \mathbb{N} e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} é diver- gente;

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de termos positivos e uma informação sobre a soma dessa sequência, e pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. As informações e o que se pede são:
  • Dado que \,a_{n}>0\\ \forall n\in\mathbb{N}\,.
  • Dado que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
  • Pergunta-se: é verdade que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} é divergente?
Vou justificar claramente a resposta passo a passo.

Passo 2

Primeiro conceito importante: condição necessária para a convergência de uma série.
  • Teorema (condição necessária): Se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então os termos da sequência satisfazem \displaystyle a_{n}\to 0 quando n\to\infty.
  • Explicação e prova curta e direta: seja \,S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\, a soma parcial. Se a série converge, então existe S tal que \,S_{n}\to S. Mas a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.Como S_{n}\to S e S_{n-1}\to S, temos a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0.
  • Interpretação simples: se as parcelas não forem cada vez menores e tenderem a zero, não há como a soma infinita estabilizar num valor finito.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, concluímos que \displaystyle a_{n}\to 0. Como os termos são positivos ( \,a_{n}>0), essa convergência para zero significa que os termos ficam arbitrariamente pequenos e positivos.

Passo 4

Agora, relação entre termos que tendem a zero e os seus recíprocos.
  • Se uma sequência positiva \,a_{n}\, satisfaz \,a_{n}\to 0\,, então os recíprocos tendem ao infinito: \displaystyle \frac{1}{a_{n}}\to +\infty.
  • Prova curta: seja M>0. Como a_{n}\to 0, existe N tal que para todo n\ge N temos 0<a_{n}<\frac{1}{M}. Tomando recíproco, obtemos \frac{1}{a_{n}}>M para todo n\ge N. Isso mostra que \frac{1}{a_{n}} torna-se maior do que qualquer M, logo tende a +\infty.

Passo 5

Usando o teste necessário para convergência de séries (teste da divergência):
  • Teste da divergência: se os termos de uma série \,b_{n}\, não tendem a zero (ou seja, \lim_{n\to\infty} b_{n}\neq 0 ou não existe), então a série \displaystyle \sum b_{n} diverge.
  • No nosso caso, tomamos b_{n}=\frac{1}{a_{n}}. Do Passo 4 temos \displaystyle b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\to +\infty, portanto em particular \lim_{n\to\infty} b_{n}\neq 0. Pelo teste da divergência, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} diverge.

Passo 6

Para tornar tudo bem concreto (exemplo ilustrativo, que também ajuda a entender na prova):
  • Considere \displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n}}. Aqui \,a_{n}>0\, e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1,que converge.
  • Mas \displaystyle \frac{1}{a_{n}}=2^{n}, cuja sequência de termos tende a +\infty, logo \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n} é claramente divergente.
  • Esse exemplo ilustra a razão geral: quando \,a_{n}\to 0\, (como requerido pela convergência da série original), os recíprocos crescem sem limite, impedindo a convergência da série de recíprocos.

Resposta

\mathbf{V}

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