Determine a veracidade de cada uma das sentenças abaixo, marcando
para as verdadeiras e
para as falsas, justificando as respostas.
( ) Se
e
converge, então
é diver- gente;
( ) Se
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de termos positivos e uma informação sobre a soma dessa sequência, e pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. As informações e o que se pede são:
- Dado que
. - Dado que
converge. - Pergunta-se: é verdade que
é divergente?
Vou justificar claramente a resposta passo a passo.
Passo 2
Primeiro conceito importante: condição necessária para a convergência de uma série.
- Teorema (condição necessária): Se a série
converge, então os termos da sequência satisfazem quando . - Explicação e prova curta e direta: seja
a soma parcial. Se a série converge, então existe tal que . Mas Como e , temos . - Interpretação simples: se as parcelas não forem cada vez menores e tenderem a zero, não há como a soma infinita estabilizar num valor finito.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: como
converge, concluímos que
. Como os termos são positivos (
), essa convergência para zero significa que os termos ficam arbitrariamente pequenos e positivos.
Passo 4
Agora, relação entre termos que tendem a zero e os seus recíprocos.
- Se uma sequência positiva
satisfaz , então os recíprocos tendem ao infinito: . - Prova curta: seja
. Como , existe tal que para todo temos . Tomando recíproco, obtemos para todo . Isso mostra que torna-se maior do que qualquer , logo tende a .
Passo 5
Usando o teste necessário para convergência de séries (teste da divergência):
- Teste da divergência: se os termos de uma série
não tendem a zero (ou seja, ou não existe), então a série diverge. - No nosso caso, tomamos
. Do Passo 4 temos , portanto em particular . Pelo teste da divergência, a série diverge.
Passo 6
Para tornar tudo bem concreto (exemplo ilustrativo, que também ajuda a entender na prova):
- Considere
. Aqui e que converge. - Mas
, cuja sequência de termos tende a , logo é claramente divergente. - Esse exemplo ilustra a razão geral: quando
(como requerido pela convergência da série original), os recíprocos crescem sem limite, impedindo a convergência da série de recíprocos.