Determine se é verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique:
Se
divide um primo
então
é primo.
Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é:
“Se
divide um primo
então
é primo.”
Informações fornecidas (ou implicadas):
-
é um número primo. -
divide , isto é, existe um inteiro tal que .
A pergunta é: a partir disso, sempre segue queé primo?
Passo 2
Definições essenciais (explicadas de forma simples):
- "
divide " significa que existe um inteiro tal que . Escrevemos isso como . - Um número inteiro
é primo quando seus únicos divisores positivos são e (ou seja, não pode ser escrito como produto de dois inteiros maiores que ). - O número
não é considerado primo (ele é uma unidade — divide tudo, mas não é primo).
Vou usar essas definições para analisar a afirmação.
Passo 3
Propriedade simples dos primos (direta da definição):
Se é primo e
divide
(com
), então os únicos possíveis valores de
são
ou
. Em símbolos: se
é primo e
com
, então
.
Se
Explicação curta do porquê: como
não pode ser fatorado em dois inteiros maiores que
, qualquer fator positivo de
tem de ser ou o
ou o próprio
.
Passo 4
Da observação anterior segue que, quando
divide
, temos duas possibilidades:
ou
.
- Se
, então é primo (já que é primo). - Se
, então não é primo (pela definição: não é primo).
Como existe a possibilidade
, que satisfaz
mas não é primo, a afirmação “se
então
é primo” não vale para todos os casos.
Passo 5
Contraexemplo numérico (bem direto, ótimo para prova):
Escolha (que é primo) e
. Então
porque
, mas
não é primo. Logo a afirmação é falsa.
Escolha
Observação útil para a prova: se o enunciado tivesse acrescentado a hipótese
(ou
), então a conclusão mudaria: com
e
teria necessariamente
, que é primo. Assim a forma correta e verdadeira seria: “Se
e
, então
é primo.”
Passo 6
Resumo didático e dica de prova: sempre verifique se o divisor trivial
foi excluído. Muitos enunciados que parecem verdadeiras falham exatamente por esquecerem o caso
. Na prova, para refutar uma afirmação universal basta dar um contraexemplo (como fiz com
e
).
Resposta
F