Determine se é verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique:
Se a divide um primo p então a é primo.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é:
“Se a divide um primo p então a é primo.”
Informações fornecidas (ou implicadas):
  • p é um número primo.
  • a divide p, isto é, existe um inteiro k tal que p = a k.
    A pergunta é: a partir disso, sempre segue que a é primo?

Passo 2

Definições essenciais (explicadas de forma simples):
  • " a divide p " significa que existe um inteiro k tal que p = a k. Escrevemos isso como a \mid p.
  • Um número inteiro n>1 é primo quando seus únicos divisores positivos são 1 e n (ou seja, não pode ser escrito como produto de dois inteiros maiores que 1).
  • O número 1 não é considerado primo (ele é uma unidade — divide tudo, mas não é primo).
Vou usar essas definições para analisar a afirmação.

Passo 3

Propriedade simples dos primos (direta da definição):
Se p é primo e a divide p (com a>0), então os únicos possíveis valores de a são 1 ou p. Em símbolos: se p é primo e a\mid p com a>0, então a\in\{1,p\}.
Explicação curta do porquê: como p não pode ser fatorado em dois inteiros maiores que 1, qualquer fator positivo de p tem de ser ou o 1 ou o próprio p.

Passo 4

Da observação anterior segue que, quando a divide p, temos duas possibilidades: a=1 ou a=p.
  • Se a=p, então a é primo (já que p é primo).
  • Se a=1, então a não é primo (pela definição: 1 não é primo).
Como existe a possibilidade a=1, que satisfaz a\mid p mas não é primo, a afirmação “se a\mid p então a é primo” não vale para todos os casos.

Passo 5

Contraexemplo numérico (bem direto, ótimo para prova):
Escolha p=7 (que é primo) e a=1. Então 1\mid 7 porque 7 = 1\cdot 7, mas 1 não é primo. Logo a afirmação é falsa.
Observação útil para a prova: se o enunciado tivesse acrescentado a hipótese a>1 (ou a\neq1), então a conclusão mudaria: com a>1 e a\mid p teria necessariamente a=p, que é primo. Assim a forma correta e verdadeira seria: “Se a\mid p e a>1, então a é primo.”

Passo 6

Resumo didático e dica de prova: sempre verifique se o divisor trivial 1 foi excluído. Muitos enunciados que parecem verdadeiras falham exatamente por esquecerem o caso a=1. Na prova, para refutar uma afirmação universal basta dar um contraexemplo (como fiz com a=1 e p=7).

Resposta

F

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