Seja
um número primo tal que
divide
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um número primo e que
divide o produto
A pergunta é: mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é primo (logo e tem a propriedade especial de divisibilidade que veremos). -
divide o produto .
Passo 2
Lema fundamental que vamos usar (explicado de forma simples): se
é primo e
divide um produto
, então
divide
ou
divide
.
Explicação do lema (curta e didática): suponha que
é primo e
. Se
já temos a conclusão. Caso contrário,
. Como
, existem inteiros
tais que
(identidade de Bézout). Multiplicando por
vem
. Como
e
, ambos os primeiros termos são múltiplos de
, portanto o lado esquerdo é múltiplo de
, o que implica
. Assim, se
não divide
então divide
; logo
divide
ou
.
Passo 3
Aplicando o lema ao nosso produto, concluímos que
Passo 4
Primeiro caso: suponha
. Então
divide a diferença entre
e
, isto é,
Como
é primo e divide
, segue que
. (Não existe outro primo divisor de
.)
Passo 5
Segundo caso: suponha
. Observe que
Como
divide
, se
dividisse
então também dividiria a diferença
Mas nenhum primo pode dividir
(pois divisores de
são apenas
e
, e
não é primo). Portanto é impossível que
.
Passo 6
Pela análise dos dois casos, o segundo é impossível e o primeiro força
. Logo a única possibilidade é
.
Passo 7
Verificação rápida: para
temos
, que é múltiplo de
. Portanto
satisfaz a condição do enunciado.