Seja p um número primo tal que p divide (p+2) \cdot\left(p^{2}+p+1\right). Mostre que p=2.

Passo 1

O enunciado dá que p é um número primo e que p divide o produto
(p+2)\cdot\left(p^{2}+p+1\right).
A pergunta é: mostrar que p=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • p é primo (logo p\ge2 e p tem a propriedade especial de divisibilidade que veremos).
  • p divide o produto (p+2)\left(p^{2}+p+1\right).

Passo 2

Lema fundamental que vamos usar (explicado de forma simples): se p é primo e p divide um produto ab, então p divide a ou p divide b.
Explicação do lema (curta e didática): suponha que p é primo e p\mid ab. Se p\mid a já temos a conclusão. Caso contrário, \gcd(a,p)=1. Como \gcd(a,p)=1, existem inteiros u,v tais que ua+vp=1 (identidade de Bézout). Multiplicando por b vem uab+vpb=b. Como p\mid ab e p\mid vpb, ambos os primeiros termos são múltiplos de p, portanto o lado esquerdo é múltiplo de p, o que implica p\mid b. Assim, se p não divide a então divide b; logo p divide a ou b.

Passo 3

Aplicando o lema ao nosso produto, concluímos que
\text{ou } p\mid (p+2)\quad\text{ou}\quad p\mid\left(p^{2}+p+1\right).

Passo 4

Primeiro caso: suponha p\mid (p+2). Então p divide a diferença entre p+2 e p, isto é,
p\mid\bigl((p+2)-p\bigr)=2.
Como p é primo e divide 2, segue que p=2. (Não existe outro primo divisor de 2.)

Passo 5

Segundo caso: suponha p\mid\left(p^{2}+p+1\right). Observe que
p^{2}+p+1=p(p+1)+1.
Como p divide p(p+1), se p dividisse p^{2}+p+1 então também dividiria a diferença
\bigl(p^{2}+p+1\bigr)-p(p+1)=1.
Mas nenhum primo pode dividir 1 (pois divisores de 1 são apenas 1 e -1, e 1 não é primo). Portanto é impossível que p\mid\left(p^{2}+p+1\right).

Passo 6

Pela análise dos dois casos, o segundo é impossível e o primeiro força p=2. Logo a única possibilidade é p=2.

Passo 7

Verificação rápida: para p=2 temos (p+2)\left(p^{2}+p+1\right)=(4)\cdot(7)=28, que é múltiplo de 2. Portanto p=2 satisfaz a condição do enunciado.

Resposta

p=2

Exercícios relacionados