Mostre que se o triplo de um número primo p é igual ao quadrado de um número natural n menos 4 então p só pode ser o primo 7 .

Passo 1

O enunciado dá que o triplo de um número primo p é igual ao quadrado de um natural n menos 4. Em fórmula:
3p = n^{2} - 4.
O que se pede: provar que, sob essa condição, o único primo possível é p=7.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • p é primo (portanto p\ge 2).
  • n é número natural (portanto n\ge 0).
  • A relação entre eles é 3p=n^{2}-4.

Passo 2

Primeiro vamos estudar a paridade de n (se é par ou ímpar). Suponha, por absurdo, que n seja par. Então podemos escrever n=2k para algum inteiro k. Substituindo em n^{2}-4 temos:
n^{2}-4 = (2k)^{2}-4 = 4k^{2}-4 = 4(k^{2}-1).
Logo n^{2}-4 é múltiplo de 4. Pela relação 3p=n^{2}-4, isso implica que 3p é múltiplo de 4. Como 3 não é múltiplo de 4, segue que p deve ser múltiplo de 4. O único primo múltiplo de 4 seria p=2, mas se p=2 então 3p=6 e a relação pede n^{2}-4=6, ou seja n^{2}=10, o que não é possível (não existe inteiro n com quadrado 10). Portanto chegamos a contradição: n não pode ser par.
Conclusão: n é ímpar.

Passo 3

Se n é ímpar, então n-2 e n+2 são ambos ímpares. Observe que
n^{2}-4=(n-2)(n+2).
Pela hipótese temos então
(n-2)(n+2)=3p.
Calcule o máximo divisor comum de n-2 e n+2. Como (n+2)-(n-2)=4, qualquer divisor comum deve dividir 4. Mas n-2 e n+2 são ímpares (porque n é ímpar), então não podem ser divisíveis por 2. Logo o único divisor comum possível é 1. Portanto
\gcd(n-2,n+2)=1.

Passo 4

Temos dois inteiros positivos e coprimos n-2 e n+2 cujo produto é 3p, e 3 e p são primos. Quando dois inteiros positivos são coprimos e o produto deles é igual ao produto de dois primos, então cada um desses inteiros deve ser igual a um dos primos (a única forma de repartir os fatores primos entre dois fatores coprimos). Assim as únicas possibilidades para os pares (n-2,n+2) são, com permutações, (1,3p), (3,p), (p,3) ou (3p,1).
Mas como n+2>n-2, o único arranjo com sentido é que n-2 seja o menor dos dois. Além disso n-2\ge 1. Vamos testar as opções plausíveis:
  • Se n-2=1 então n=3 e n+2=5. Isso exigiria 3p=5, impossível.
  • Se n-2=3 então n=5 e n+2=7. Neste caso (n-2)(n+2)=3\cdot7 e portanto 3p=21, de onde p=7. Isso é compatível.
  • As outras opções colocariam n+2\le 3 ou fariam n-2 maior que n+2, o que contradiz a ordem natural.
Portanto a única possibilidade consistente é
n-2=3,\qquad n+2=p,
que dá n=5 e p=7.

Passo 5

Verificação final: com n=5 e p=7 temos
n^{2}-4 = 5^{2}-4 = 25-4=21
e
3p = 3\cdot 7 = 21,
logo a relação é satisfeita. Pelo argumento anterior essa é a única solução possível.

Resposta

p=7

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