Mostre que se o triplo de um número primo
é igual ao quadrado de um número natural
menos 4 então
só pode ser o primo 7 .
Passo 1
O enunciado dá que o triplo de um número primo
é igual ao quadrado de um natural
menos
. Em fórmula:
O que se pede: provar que, sob essa condição, o único primo possível é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é primo (portanto ). -
é número natural (portanto ). - A relação entre eles é
.
Passo 2
Primeiro vamos estudar a paridade de
(se é par ou ímpar). Suponha, por absurdo, que
seja par. Então podemos escrever
para algum inteiro
. Substituindo em
temos:
Logo
é múltiplo de
. Pela relação
, isso implica que
é múltiplo de
. Como
não é múltiplo de
, segue que
deve ser múltiplo de
. O único primo múltiplo de
seria
, mas se
então
e a relação pede
, ou seja
, o que não é possível (não existe inteiro
com quadrado
). Portanto chegamos a contradição:
não pode ser par.
Conclusão:
é ímpar.
Passo 3
Se
é ímpar, então
e
são ambos ímpares. Observe que
Pela hipótese temos então
Calcule o máximo divisor comum de
e
. Como
, qualquer divisor comum deve dividir
. Mas
e
são ímpares (porque
é ímpar), então não podem ser divisíveis por
. Logo o único divisor comum possível é
. Portanto
Passo 4
Temos dois inteiros positivos e coprimos
e
cujo produto é
, e
e
são primos. Quando dois inteiros positivos são coprimos e o produto deles é igual ao produto de dois primos, então cada um desses inteiros deve ser igual a um dos primos (a única forma de repartir os fatores primos entre dois fatores coprimos). Assim as únicas possibilidades para os pares
são, com permutações,
,
,
ou
.
Mas como
, o único arranjo com sentido é que
seja o menor dos dois. Além disso
. Vamos testar as opções plausíveis:
- Se
então e . Isso exigiria , impossível. - Se
então e . Neste caso e portanto , de onde . Isso é compatível. - As outras opções colocariam
ou fariam maior que , o que contradiz a ordem natural.
Portanto a única possibilidade consistente é
que dá
e
.
Passo 5
Verificação final: com
e
temos
e
logo a relação é satisfeita. Pelo argumento anterior essa é a única solução possível.