Determine o vértice e as raízes (caso existam) das funções do 2^{\circ} grau abaixo:
f(x)=3 x^{2}+9 x-12

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
f(x)=3x^{2}+9x-12
e pede o vértice e as raízes. O conteúdo é propriedades de parábolas: o vértice está em x_v=-\tfrac{b}{2a} e as raízes vêm da fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a=3,\quad b=9,\quad c=-12.
A abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2\cdot3} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}.
Agora calculamos a ordenada substituindo x_v em f:
y_v = f\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 3\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} +9\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) -12.
Passo a passo:
3\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} =3\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{27}{4},\quad 9\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)=-\tfrac{27}{2},\quad -12=-\tfrac{48}{4}.
Somando tudo em quarto:
y_v = \frac{27}{4}-\frac{54}{4}-\frac{48}{4} =\frac{27-54-48}{4} =-\frac{75}{4}.
Logo o vértice é
\bigl(x_v,y_v\bigr) =\Bigl(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{75}{4}\Bigr).

Passo 3

Para as raízes usamos Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 9^{2}-4\cdot3\cdot(-12) =81+144=225.
Como \sqrt{\Delta}=15, as raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-9\pm15}{2\cdot3} =\frac{-9\pm15}{6}.
Isso dá duas soluções:
x_{1} = \frac{-9+15}{6} = \frac{6}{6} = 1,\quad x_{2} = \frac{-9-15}{6} = \frac{-24}{6} = -4.

Resposta

Vértice: \bigl(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{75}{4}\bigr)
Raízes: x=-4 e x=1

Exercícios relacionados