Determine o vértice e as raízes (caso existam) das funções do 2^{\circ} grau abaixo:
f(x)=-x^{2}+\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede o vértice e as raízes da função quadrática
f(x) = -x^{2} + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2}.
O conteúdo utilizado será a fórmula do vértice \,x_v = -\frac{b}{2a}\, e a fórmula das raízes via discriminante \,\Delta = b^2 - 4ac.

Passo 2

Para achar o vértice de f(x) identificamos a = -1 e b = \tfrac{5}{2}. A abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{\tfrac{5}{2}}{2\cdot(-1)} = \frac{5}{4}.
A ordenada do vértice vem de
y_v = f\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) = -\Bigl(\frac{5}{4}\Bigr)^{2} + \frac{5}{2}\cdot\frac{5}{4} + \frac{3}{2} = -\frac{25}{16} + \frac{50}{16} + \frac{24}{16} = \frac{49}{16}.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac = \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot\frac{3}{2} = \frac{25}{4} + 6 = \frac{49}{4} > 0,
logo há duas raízes reais. Elas são dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\tfrac{5}{2} \pm \tfrac{7}{2}}{2\cdot(-1)}.
Para o sinal +:
x_1 = \frac{-\tfrac{5}{2} + \tfrac{7}{2}}{-2} = -\frac{1}{2}.
Para o sinal -:
x_2 = \frac{-\tfrac{5}{2} - \tfrac{7}{2}}{-2} = 3.

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac{5}{4}, \tfrac{49}{16}\bigr).
Raízes: x = -\tfrac{1}{2} e x = 3.

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