Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles a seguir.
16 y^{2}-25 x^{2}=400

Passo 1

O enunciado apresenta a hipérbole
16\,y^{2}-25\,x^{2}=400
e pede os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas. Para isso, vamos reescrever a equação na forma padrão
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
identificar a, b e o centro, calcular c (para os focos) e e, além de deduzir as retas assíntotas.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de 16\,y^{2}-25\,x^{2}=400 por 400, obtemos
\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1.
Daí vemos que o centro é (0,0),
a^{2}=25\implies a=5, \qquad b^{2}=16\implies b=4.

Passo 3

Para uma hipérbole com termo positivo em y^{2} o eixo transverso é vertical.
  • Os vértices ficam em (0,\pm a), ou seja,
(0,\pm5).
  • Para os focos calculamos
c^{2}=a^{2}+b^{2}=25+16=41, \qquad c=\sqrt{41},
de modo que os focos são
(0,\pm\sqrt{41}).

Passo 4

A excentricidade e de uma hipérbole é dada por
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{41}}{5}.

Passo 5

As assíntotas de
\displaystyle \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
são as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x
logo, aqui,
y=\pm\frac{5}{4}\,x.

Resposta

Vértices: (0,5) e (0,-5)
Focos: (0,\sqrt{41}) e (0,-\sqrt{41})
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{41}}{5}
Assíntotas: y=\tfrac{5}{4}x e y=-\tfrac{5}{4}x

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