Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 2 & 5\end{pmatrix}
usando o método de Gauss-Jordan. Vamos criar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Zeramos o elemento abaixo do pivô em (1,1) com
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Normalizamos o pivô da segunda linha dividindo por -1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos o elemento acima do pivô em (2,2) com
R_1 \leftarrow R_1 - 3\,R_2,
ficando
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -5 & 3\\\\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right].

Passo 6

Agora a parte esquerda é a matriz identidade e a parte direita é a inversa procurada:
A^{-1} = \begin{pmatrix}-5 & 3\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}-5 & 3\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

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