determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região. V(r)=-Kr, onde K é positivo e r=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de eletrostática! O enunciado pede para determinar o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região, dado o potencial elétrico , onde é positivo e . Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico, que envolve cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. O operador nabla ( ) calcula as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de nabla V = dVdr r . Como depende apenas de , podemos expressar o gradiente em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende só de é:
Aqui, é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Calculando a derivada de dVdr = ddr ( -Kr ) = Kr^2 em relação a nabla V = Kr^2 r :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 5

Aplicando a relação E = -Kr^2 r :
Isso significa que o campo elétrico aponta na direção oposta ao vetor radial e sua intensidade diminui com o quadrado da distância.

Resposta

O vetor campo elétrico é dado por:
E = -Kr^2 r

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