determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
, onde
é positivo e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de eletrostática! O enunciado pede para determinar o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região, dado o potencial elétrico
, onde
é positivo e
. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico, que envolve cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. O operador nabla (
) calcula as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Como
depende apenas de
, podemos expressar o gradiente em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende só de
é:
Aqui,
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 5
Aplicando a relação
:
Isso significa que o campo elétrico aponta na direção oposta ao vetor radial e sua intensidade diminui com o quadrado da distância.
Resposta
O vetor campo elétrico é dado por: