determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
, onde
é positivo e
.
Passo 1
Beleza, galera! A questão pede pra gente determinar o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região onde a função potencial elétrico é dada por
. Aqui,
é uma constante positiva e
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico, para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela equação
, onde
é o operador gradiente. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
e
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Usando a regra da cadeia, obtemos:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, calculamos
. Aqui temos duas partes: a derivada de
no numerador e a derivada de
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o vetor campo elétrico
usando
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
Portanto, o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região é dado por: