determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região. V(r, z)=K zr^3, onde K é positivo e r=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, galera! A questão pede pra gente determinar o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região onde a função potencial elétrico é dada por . Aqui, é uma constante positiva e . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico, para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela equação , onde é o operador gradiente. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular partial Vpartial x = partialpartial x ( K z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) . Sabemos que partial Vpartial x = K z cdot ( -32 ) (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 cdot 2x = -3 K z x (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 e . Então, a derivada de em relação a é:
Usando a regra da cadeia, obtemos:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular partial Vpartial y = -3 K z y (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 :

Passo 5

Agora, calculamos partial Vpartial z = Kr^3 + K z cdot ( -3 ) (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 cdot z = Kr^3 - 3 K z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 . Aqui temos duas partes: a derivada de no numerador e a derivada de :

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o vetor campo elétrico E = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) usando E = 3 K z x r^-5 i + 3 K z y r^-5 j + ( -Kr^3 + 3 K z^2 r^-5 ) k :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

Portanto, o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região é dado por:
E = 3 K z r^-5 ( x , i + y , j + z , k ) - Kr^3 k

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