Encontre o potencial aproximado para pontos distantes do dipolo.
Lembre-se:
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos:
B. Estamos interessado no regime
, de forma que o
termo seja desprezível e a expansão binomial gere:
Lembre-se:
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos:
B. Estamos interessado no regime
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o potencial aproximado para pontos bem distantes de um dipolo. A gente vai usar a fórmula do potencial elétrico de uma carga pontual, que é
. Além disso, vamos precisar usar a lei dos cossenos e fazer uma expansão binomial para simplificar as contas, já que estamos considerando que a distância
é muito maior que a separação
das cargas do dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a lei dos cossenos para encontrar as distâncias
e
dos pontos onde estão as cargas positivas e negativas, respectivamente, até o ponto onde estamos calculando o potencial. A lei dos cossenos nos dá:
Aqui,
é o ângulo entre o vetor posição
e o eixo do dipolo.
Passo 3
Como estamos no regime onde
, podemos simplificar a expressão acima desprezando o termo
. Assim, a expressão fica:
Agora, queremos o inverso de
, então fazemos uma expansão binomial:
Passo 4
O potencial total
devido ao dipolo é a soma dos potenciais das duas cargas
e
:
Substituindo as aproximações que fizemos para
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Definindo o momento dipolar
, a expressão fica:
Resposta
O potencial aproximado para pontos distantes do dipolo é: