Encontre o potencial aproximado para pontos distantes do dipolo.
Lembre-se: V(r)=14 pi varepsilon0 qr
Dicas:
A. Use a lei dos cossenos: r pm^2=r^2+(d2)^2 mp r d cos theta=r^2(1 mp dr cos theta+d^2^24 r)
B. Estamos interessado no regime r gg d, de forma que o 3^circ termo seja desprezível e a expansão binomial gere:
1r pm cong 1r(1 mp dr cos theta)^-1 / 2 cong 1r(1 pm d2 r cos theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o potencial aproximado para pontos bem distantes de um dipolo. A gente vai usar a fórmula do potencial elétrico de uma carga pontual, que é . Além disso, vamos precisar usar a lei dos cossenos e fazer uma expansão binomial para simplificar as contas, já que estamos considerando que a distância é muito maior que a separação das cargas do dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a lei dos cossenos para encontrar as distâncias rpm^2 = r^2 + (d2)^2 mp r d cos theta e dos pontos onde estão as cargas positivas e negativas, respectivamente, até o ponto onde estamos calculando o potencial. A lei dos cossenos nos dá:
Aqui, é o ângulo entre o vetor posição e o eixo do dipolo.

Passo 3

Como estamos no regime onde rpm approx r (1 mp d2r cos theta ) , podemos simplificar a expressão acima desprezando o termo 1rpm approx 1r (1 pm d2r cos theta ) . Assim, a expressão fica:
Agora, queremos o inverso de , então fazemos uma expansão binomial:

Passo 4

O potencial total V = 14 pi varepsilon0 ( qr+ - qr- ) devido ao dipolo é a soma dos potenciais das duas cargas V approx 14 pi varepsilon0 ( qr (1 + d2r cos theta ) - qr (1 - d2r cos theta ) ) e :
Substituindo as aproximações que fizemos para :

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
V approx 14 pi varepsilon0 ( qr cdot dr cos theta + qr cdot dr cos theta ) = 14 pi varepsilon0 cdot 2 q d cos thetar^2
Definindo o momento dipolar V(r) = 14 pi varepsilon0 cdot p cos thetar^2 , a expressão fica:

Resposta

O potencial aproximado para pontos distantes do dipolo é:
V(r) = 14 pi varepsilon0 cdot p cos thetar^2

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