(a) Mostre que é um ponto singular regular.
(b) Mostre que as raízes da equação indicial são .
(c) Mostre que uma solução para é
(d) Mostre que a série para converge para todo . A função é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Bessel de ordem zero
e pede:
(a) mostrar que é um ponto singular regular;
(b) encontrar as raízes da equação indicial;
(c) obter a solução em série de Frobenius para ;
(d) verificar que a série converge para todo .
O conteúdo principal é o método de Frobenius aplicado a uma equação de ponto singular regular e uso de testes de convergência para séries de potências.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
Aqui
Como anula o coeficiente de , é ponto singular. Mas
são funções analíticas em . Logo, é ponto singular regular.
Passo 3
Procuramos solução da forma
Calculando
e substituindo em , obtemos ao recolher potências de o termo indicial
Assim, as raízes são
Passo 4
Igualando coeficientes de para vem a recorrência
ou, para ,
Escolhendo e (porque não há termo em ), segue que todos os e
Logo a solução de Frobenius (função de Bessel de primeira espécie ordem zero) é
Passo 5
Para a convergência da série, aplicamos o teste da razão a termos genéricos
Calculamos
Como o limite é zero, menor que 1, a série converge absolutamente para todo xinR.
Resposta
(a) x=0 é ponto singular regular porque x,p(x)=1 e x^2q(x)=x^2 são analíticos em zero.
(b) A equação indicial é r^2=0, logo r1=r2=0.
(c) A solução de Frobenius é
J0(x) =1+sumn=1^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
(d) Pelo teste da razão, a série converge para todo x.