A equação de Bessel de ordem zero é
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0
(a) Mostre que x=0 é um ponto singular regular.
(b) Mostre que as raízes da equação indicial são r1=r2=0.
(c) Mostre que uma solução para x>0 é
J0(x)=1+sumn=1^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2
(d) Mostre que a série para J0(x) converge para todo x. A função J0 é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bessel de ordem zero
x^2y'' + x y' + x^2y = 0
e pede:
(a) mostrar que x=0 é um ponto singular regular;
(b) encontrar as raízes da equação indicial;
(c) obter a solução em série de Frobenius para x>0;
(d) verificar que a série converge para todo x.
O conteúdo principal é o método de Frobenius aplicado a uma equação de ponto singular regular e uso de testes de convergência para séries de potências.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y'' + 1x,y' + 1cdot y = 0
Aqui
p(x) = 1x, q(x)=1
Como x=0 anula o coeficiente de y'', é ponto singular. Mas
x,p(x)=1 e x^2q(x)=x^2
são funções analíticas em x=0. Logo, x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Procuramos solução da forma
y = sumn=0^infty an,x^n+r, a0neq0
Calculando
y'=sumn=0^infty an,(n+r),x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an,(n+r)(n+r-1),x^n+r-2,
e substituindo em x^2y''+x y'+x^2y=0, obtemos ao recolher potências de x^n+r o termo indicial
r(r-1) + r = r^2 = 0
Assim, as raízes são
r1=r2=0

Passo 4

Igualando coeficientes de x^n+r para n>=0 vem a recorrência
(n+r)^2an + an-2=0,
ou, para r=0,
an = -an-2n^2, n>=2
Escolhendo a0=1 e a1=0 (porque não há termo em x^1), segue que todos os a2m+1=0 e
a2m = (-1)^m(2^m,m!)^2
Logo a solução de Frobenius (função de Bessel de primeira espécie ordem zero) é
J0(x) = summ=0^inftya2m,x^2m =1+sumn=1^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2

Passo 5

Para a convergência da série, aplicamos o teste da razão a termos genéricos
un = (-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
Calculamos
|un+1un| = |x|^24,(n+1)^2 ;xrightarrow[ntoinfty];0
Como o limite é zero, menor que 1, a série converge absolutamente para todo xinR.

Resposta

(a) x=0 é ponto singular regular porque x,p(x)=1 e x^2q(x)=x^2 são analíticos em zero.
(b) A equação indicial é r^2=0, logo r1=r2=0.
(c) A solução de Frobenius é
J0(x) =1+sumn=1^infty(-1)^nx^2n2^2n(n!)^2
(d) Pelo teste da razão, a série converge para todo x.

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